Xét tam giác ADC có MP//DC (gt)

-> MP/DC =AP/AC (thales) (1)

Xét tam giác ABC có QN//DC (gt)

-> AP/AC = BQ/BC (thales) (2)

Từ (1) và (2) -> MP/DC =BQ/BC (3)

Xét tam giác BDC có MP//DC (gt)

-> NQ/DC = BQ/BC (thales) (4)

Từ (3) và (4) -> MP/DC =NQ/DC 

-> (MN+NP)/DC = (NP+PQ)/DC 

-> MN/DC = PQ/DC

Vậy MN/DC = PQ/DC (đpcm)

Xét tam giác CAB có trọng tâm G (gt) và gọi N là giao điểm của trung tuyến đi qua điểm C với cạnh AB

-> GN/CN = 1/3 (t/c)

Xét tam giác CAB có d// AB(gt)

-> GN/CN = BM/BC (thales)

-> BM/BC = 1/3

-> BM = 1/3BC

Vậy BM = 1/3BC (đpcm) 

Xét tam giác DOC có AB//CD (gt)

-> OA/OC =OB/OD (hệ quả thales)

-> OA.OD = OB.OC

Vậy OA.OD = OB.OC (đpcm)

Xét tam giác BCA có DE //AC (gt)

-> AE/AB = CD/BC (thales) (1)

Xét tam giác CAB có DF //AB (gt)

-> AF/AC = BD/BC (thales) (2)

Từ (1) và (2) -> AE/AB +AF/AC = CD/BC + BD/BC = 1

Vậy AE/AB + AF/AC = 1