Có BOC^BOC và BOD^BOD là hai góc kề bù nên BOC^+BOD^=180∘BOC+BOD=180∘.

Vì $OM$ là tia phân giác của BOC^BOC nên COM^=MOB^=12BOC^COM=MOB=21​BOC;

$ON$ là tia phân giác của góc BOD^BOD nên DON^=NOB^=12BOD^.DON=NOB=21​BOD.

Mà tia $OB$ nằm giữa tia $OM$ và $ON$.

Suy ra MON^=MOB^+NOB^=12(BOC^+BOD^)=12.180∘=90∘MON=MOB+NOB=21​(BOC+BOD)=21​.180∘=90∘.

Mặt khác MOP^=90∘MOP=90∘ (tia $OP$ vuông góc $OM$ ).

Suy ra MON^+MOP^=90∘+90∘=180∘MON+MOP=90∘+90∘=180∘.

Mà hai tia $OP$ và $ON$ nằm trền hai nửa mặt phẳng bờ $OM$ nên hai tia $OP$ và $ON$ là hai tia đối nhau.

Kết hợp $OC$ và $OD$ là hai tia đối nên suy ra COP^COP và DON^DON là hai góc đối đỉnh.

Vơi $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta có $2n$ tia chung gồc.

Chọn $1$ tia trong $2n$ tia chung gốc đó, tạo với $2n-1$ tia còn lại, ta được $2n-1$ (góc).

Làm như vậy với $2n$ tia chung gốc, ta được $2n.(2n-1)$ (góc).

Nhưng vì mỗi góc đã được tính hai lần nên số góc thực tế là 2n.(2n−1)2=n.(2n−1)22n.(2n−1)​=n.(2n−1) (góc).

Vì có $n$ đường thẳng nên sẽ có $n$ góc bẹt.

Do đó số góc khác góc bẹt là $n.(2n-1)-n=n.(2n-2)$ (góc).

Mỗi góc trong số $n.(2n-2)$ góc đó đều có một góc đối đỉnh với nó.

Suy ra số cặp góc đối đỉnh là n(2n−2)2=n.(n−1)2n(2n−2)​=n.(n−1).

Vậy với $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được $n.(n-1)$ cặp góc đối đỉnh.

Vi xON^xON và x′ON^x′ON kề bù nên xON^+x′ON^=180∘xON+x′ON=180∘.

Mà xON^=90∘xON=90∘ nên x′ON^=90∘x′ON=90∘.

Vì tia $OP$ là tia phân giác của góc x′ON^x′ON nên x′OP^=PON^=12x′ON^=45∘x′OP=PON=21​x′ON=45∘.

Mặt khác hai tia $OP$ và $OM$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xx′xx′ nên MOP^=PON^+xON^+xOM^=45∘+90∘+45∘=180∘MOP=PON+xON+xOM=45∘+90∘+45∘=180∘.

Suy ra hai tia $OP$ và $OM$ là hai tia đối nhau. Mà $Ox$ và Ox′Ox′ là hai tia đối nhau.

Suy ra xOM^xOM và x′OP^x′OP là hai góc đối đỉnh.

 AOC^=BOD^=130∘AOC=
 AOC^=BOD^=130∘
 

Vi $O$ nằm trên đường thẳng xx′xx′ nên hai tia $Ox$ và Ox′Ox′ là hai tia đối nhau. (1)

Do $ON$ và $OM$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $Ox$ nên tia $Ox$ nằm giữa $ON$ và $OM$.

Suy ra xOM^+xON^=140∘+40∘=180∘xOM+xON=140∘+40∘=180∘.

Vậy xOM^xOM và xON^xON là hai góc kề bù.

Suy ra hai tia $OM$ và $ON$ đối nhau. (2)

Từ (1) và (2), suy ra xON^xON và x′OM^x′OM là hai góc đối đỉnh.

Vì AOD^AOD và BOC^BOC đối đỉnh nên AOD^=BOC^AOD=BOC.

Mà AOD^+BOC^=100∘AOD+BOC=100∘ nên AOD^=BOC^=100∘:2=50∘AOD=BOC=100∘:2=50∘.

Lại có BOD^BOD và BOC^BOC kề bù nên BOD^+BOC^=180∘BOD+BOC=180∘.

Suy ra BOD^=180∘−BOC^=180∘−50∘=130∘BOD=180∘−BOC=180∘−50∘=130∘.

Suy ra AOC^=BOD^=130∘AOC=BOD=130∘ (hai góc đối đinh).