Rõ ràng các góc $\angle AOD,\angle BOC$ được đề cập là các góc không lớn hơn 180o180o.
Khi đó ta thấy rằng $\angle AOD,\angle BOC$ là hai góc đối đỉnh nên $\angle AOD=\angle BOC$, từ đó kết hợp giả thiết ta thu được 2∠AOD=100o2∠AOD=100o hay ∠AOD=∠BOC=50o∠AOD=∠BOC=50o
Khi đó ∠BOD=∠AOC=180o−∠50o=130o∠BOD=∠AOC=180o−∠50o=130o

MON=xOM+xON=1400+40o=180o

=> M; O; N thẳng hàng

=> MN cắt xx' tạo O => xON^;x′OM^xON;x′OM là hai góc đối đỉnh

Ta có

x′ON^=xOx′^−xON^=180o−90o=90ox′ON=xOx′−xON=180o−90o=90o

⇒NOP^=x′ON^2=45o⇒NOP=2x′ON​=45o

⇒MOP^=xOM^+xON^+NOP^=45o+90o+45o=180o⇒MOP=xOM+xON+NOP=45o+90o+45o=180o

=> M; O; P thẳng hàng => MP cắt xx' tại O

⇒xOM^;x′OP^⇒xOM;x′OP là hai góc đối đỉnh

Với n đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm, ta được $2n$ tia chung gốc

Chọn 1 tia trong $2n$ tia chung gốc đã cho tạo với 2n - 1 tia còn lại, ta được $2n-1$ ( góc )

Làm như vậy với $2n$ tia chung gốc, ta được   $2n\left(2n-1\right)$ ( góc )

Nhưng vì mỗi góc đã được tính 2 lần nên số góc thực có là:

2n(2n−1)2=n(2n−1)22n(2n−1)​=n(2n−1) ( góc )

Trong đó có  đường thẳng nên sẽ có $n$ góc bẹt

Số góc khác góc bẹt là: 

$n\left(2n-1\right)-n$ ( góc )

Mỗi góc trong số $n\left(2n-1\right)-n$ đều có một góc đối đỉnh với nó:

Số cặp góc đối đỉnh là:

n(2n−1)−n2=n(2n−1−1)22n(2n−1)−n​=2n(2n−1−1)​ =n(2n−2)2=n(n−1)=2n(2n−2)​=n(n−1) ( cặp góc )

Vậy có tất cả $n\left(n-1\right)$ cặp góc đối đinth được tạo thành ( không tính góc bẹt )

BOM=21​BOC,BON=21​BOD 

mà BOC^+BOD^=COD^=180oBOC+BOD=COD=180o

suy ra BOM^+BON^=12.180o=90oBOM+BON=21​.180o=90o

⇒NOM^=90o⇒NOM=90o

OP⊥OM⇒MOP^=90oOP⊥OM⇒MOP=90o

PON^=POM^+MON^=90o+90o=180oPON=POM+MON=90o+90o=180o

suy ra $P,O,N$ thẳng hàng. 

Suy ra COP^COP và DON^DON là hai góc đối đỉnh.