Hoàng Thị Hải Yến
Giới thiệu về bản thân
Tứ giác
D
K
M
N
DKMN có
D
^
=
K
^
=
N
^
=
90
∘
D
=
K
=
N
=90
∘
nên là hình chữ nhật.
b) Vì
D
K
M
N
DKMN là hình chữ nhật nên
D
F
DF //
M
H
MH
Xét
Δ
K
F
M
ΔKFM và
Δ
N
M
E
ΔNME có:
K
^
=
N
^
=
90
∘
K
=
N
=90
∘
F
M
=
M
E
FM=ME ( giả thiết)
K
M
F
^
=
E
^
KMF
=
E
(đồng vị)
Vậy
Δ
K
F
M
=
Δ
N
M
E
ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra
K
F
=
M
N
KF=MN (hai cạnh tương ứng) mà
M
N
=
D
K
MN=DK nên
D
F
=
2
D
K
DF=2DK và
M
H
=
2
M
N
MH=2MN.
Do đó
D
F
=
M
H
DF=MH.
Tứ giác
D
F
M
H
DFMH có
D
F
DF //
M
H
,
D
F
=
M
H
MH,DF=MH nên là hình bình hành.
Do đó, hai đường chéo
D
M
,
F
H
DM,FH cắt nhau tại trung điểm
O
O của mỗi đường hay
F
,
O
,
H
F,O,H thẳng hàng.
c) Để hình chữ nhật
D
K
M
N
DKMN là hình vuông thì
D
K
=
D
N
DK=DN
(
1
)
(1)
Mà
D
K
=
1
2
D
F
DK=
2
1
DF và
D
N
=
K
M
=
N
E
DN=KM=NE nên
D
N
=
1
2
D
E
DN=
2
1
DE
(
2
)
(2)
Từ
(
1
)
,
(
2
)
(1),(2) suy ra
D
F
=
D
E
DF=DE.
Vậy
Δ
D
F
E
ΔDFE cần thêm điều kiên cân tại
D
D
Vì
A
B
=
2
B
C
AB=2BC suy ra
B
C
=
A
B
2
=
A
D
BC=
2
AB
=AD
A
B
C
D
ABCD là hình chữ nhật nên
A
B
=
D
C
AB=DC suy ra
1
2
A
B
=
1
2
D
C
2
1
AB=
2
1
DC do đó
A
I
=
D
K
=
A
D
AI=DK=AD.
Tứ giác
A
I
K
D
AIKD có
A
I
AI //
D
K
,
A
I
=
D
K
DK,AI=DK nên
A
I
K
D
AIKD là hình bình hành.
Lại có
A
D
=
A
I
AD=AI nên
A
I
K
D
AIKD là hình thoi.
Mà
I
A
D
^
=
90
∘
IAD
=90
∘
do đó
A
I
K
D
AIKD là hình vuông.
Chứng minh tương tự cho tứ giác
B
I
K
C
BIKC
b) Vì
A
I
K
D
AIKD là hình vuông nên
D
I
DI là tia phân giác
A
D
K
^
ADK
hay
I
D
K
^
=
45
∘
IDK
=45
∘
.
Tương tự
I
C
D
^
=
45
∘
ICD
=45
∘
.
Δ
I
D
C
ΔIDC cân có
D
I
C
^
=
90
∘
DIC
=90
∘
nên là tam giác vuông cân.
c) Vì
A
I
K
D
,
B
C
K
I
AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên
S
I
=
S
K
=
D
I
2
SI=SK=
2
DI
và
I
R
=
R
K
=
I
C
2
IR=RK=
2
IC
Suy ra
I
S
K
R
ISKR là hình thoi.
Lại có
D
I
C
^
=
90
∘
DIC
=90
∘
nên
I
S
K
R
ISKR là hình vuông.
a) Tứ giác
A
M
C
K
AMCK có hai đường chéo
A
C
,
M
K
AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Δ
A
B
C
ΔABC vuông tại
A
A có
A
M
AM là đường trung tuyến nên
A
M
=
M
C
=
M
B
AM=MC=MB.
Vậy hình bình hành
A
M
C
K
AMCK có
A
M
=
M
C
AM=MC nên là hình thoi.
b) Vì
A
M
C
K
AMCK là hình thoi nên
A
K
AK //
B
M
BM và
A
K
=
M
C
=
B
M
AK=MC=BM.
Tứ giác
A
K
M
B
AKMB có
A
K
AK //
B
M
,
A
K
=
B
M
BM,AK=BM nên là hình bình hành.
c) Để
A
M
C
K
AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay
A
M
⊥
M
C
AM⊥MC.
Khi đó
Δ
A
B
C
ΔABC có
A
M
AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại
A
A.
Vậy
Δ
A
B
C
ΔABC vuông cân tại
A
A thì
A
M
C
K
AMCK
) Tứ giác
A
M
C
K
AMCK có hai đường chéo
A
C
,
M
K
AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Δ
A
B
C
ΔABC vuông tại
A
A có
A
M
AM là đường trung tuyến nên
A
M
=
M
C
=
M
B
AM=MC=MB.
Vậy hình bình hành
A
M
C
K
AMCK có
A
M
=
M
C
AM=MC nên là hình thoi.
b) Vì
A
M
C
K
AMCK là hình thoi nên
A
K
AK //
B
M
BM và
A
K
=
M
C
=
B
M
AK=MC=BM.
Tứ giác
A
K
M
B
AKMB có
A
K
AK //
B
M
,
A
K
=
B
M
BM,AK=BM nên là hình bình hành.
c) Để
A
M
C
K
AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay
A
M
⊥
M
C
AM⊥MC.
Khi đó
Δ
A
B
C
ΔABC có
A
M
AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại
A
A.
Vậy
Δ
A
B
C
ΔABC vuông cân tại
A
A thì
A
M
C
K
AMCK là hình vuông
vì ∆ABC vuông cân tại A nên B=C=45⁰
Vì ∆BHE vuông tại H có B=45⁰ nên ∆ BHE vuông cân tại H
suy ra HB=HE
vì ∆CGF vuông tại G, có C=45⁰neen ∆CGF vuông cân tại G
suy ra GC=GF
ta có: BH=HG=GC(gt)
vì EH//GF(hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba)
nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau)
lại có (EHG)=90⁰ nên HEFG là hình chữ nhật
mà EH=HG(chúng minh trên )
Vậy HEFG là hình vuông
Xét OBAC có góc C,O,B=90
=> OBAC là hình chữ nhật
Mà OM là tia phân giác góc O
=> OBAC là hình vuông