ˆ

MND

=

90

°

 và 

ˆ

MKD

=

90

°

 

Tứ giác DKMN có 

ˆ

KDN

=

90

°

;

 

ˆ

MKD

=

90

°

;

 

ˆ

MND

=

90

°

 nên DKMN là hình chữ nhật.

 

b) ∆DEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

 

MD

=

1

2

EF

=

ME

.

 

Suy ra ∆MDE cân tại M.

 

Ta lại có MN ⊥ DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆MDE, suy ra 

ND

=

NE

=

DE

2

.

 

Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).

 

Suy ra DHEM là hình bình hành.

 

Do đó DH // ME và DH = ME.

 

Mà M là trung điểm EF nên ME = MF

 

Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.

 

Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.

 

Vậy H, O, F thẳng hàng.

 

c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của 

ˆ

KDN

, hay DM là đường phân giác của .

 

Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ∆DEF

 

Do đó ∆DEF cân tại D

 

Suy ra ∆DEF vuông cân tại D.

 

Vậy ∆DEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.

Xét tứ giác AIKD có

 

AI//KD

 

AI=KD

 

AI=AD

 

=>AIKD là hình thoi

 

mà góc A=90 độ

 

nên AIKD là hình vuông

 

Xét tứ giác BIKC có

 

BI//KC

 

BI=KC

 

BI=BC

 

=>BIKC là hình thoi

 

mà góc B=90 độ

 

nên BIKC là hình vuông

 

b: Xét ΔDIC có

 

IK vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

 

IK=1/2DC

 

Do đó: ΔDIC vuông cân tại I

 

c: AIKD là hình vuông

 

=>AK vuông góc ID tại trung điểm của mỗi đường và AK=ID

 

=>AK=ID và AK vuông góc ID tại S

 

=>SI=SK

 

BIKC là hình vuông

 

=>CI vuông góc BK tại trung điểm của mỗi đường và CI=BK

 

=>CI vuông góc BK tại R

 

=>RI=RC=RK=RB

 

Xét tứ giác ISKR có

 

góc ISK=góc IRK=góc SIK=90 độ

 

Do đó: ISKR là hình chữ nhật

 

mà SI=SK

 

nên ISKR là hình vuông

AM+MB=AB

 

BN+NC=BC

 

CP+PD=CD

 

QD+QA=AD

 

mà AB=BC=CD=AD và AM=BN=CP=QD

 

nên BM=CN=PD=QA

 

2: Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔNBM vuông tại B có

 

MA=NB

 

AQ=BM

 

Do đó: ΔMAQ=ΔNBM

 

=>MQ=MN(1)

 

Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có

 

MB=NC

 

BN=CP

 

Do đó: ΔMBN=ΔNCP

 

=>MN=NP(2)

 

Xét ΔNCP vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có

 

NC=PD

 

CP=DQ

 

Do đó: ΔNCP=ΔPDQ

 

=>NP=PQ(3)

 

Từ (1),(2),(3) suy ra MQ=MN=NP=PQ

 

ΔMAQ=ΔNBM

 

=>

A

M

Q

^

=

B

N

M

^

AMQ

 

 = 

BNM

 

 

mà 

B

N

M

^

+

B

M

N

^

=

9

0

0

BNM

 + 

BMN

 =90 

0

 (ΔBMN vuông tại B)

 

nên 

A

M

Q

^

+

B

M

N

^

=

9

0

0

AMQ

 

 + 

BMN

 =90 

0

 

 

A

M

Q

^

+

Q

M

N

^

+

N

M

B

^

=

18

0

0

AMQ

 

 + 

QMN

 

 + 

NMB

 =180 

0

 

 

=>

9

0

0

+

Q

M

N

^

=

18

0

0

90 

0

 + 

QMN

 

 =180 

0

 

 

=>

Q

M

N

^

=

9

0

0

QMN

 

 =90 

0

 

 

Xét tứ giác MNPQ có

 

MN=NP=PQ=MQ

 

nên MNPQ là hình thoi

 

Hình thoi MNPQ có 

Q

M

N

^

=

9

0

0

QMN

 

 =90 

0

 

 

nên MNPQ là hình vuông

ΔABC vuông tại A

 

mà AM là đường trung tuyến

 

nên 

A

M

=

M

B

=

M

C

=

B

C

2

AM=MB=MC= 

2

BC

 

 

 

Xét tứ giác AMCK có

 

I là trung điểm chung của AC và MK

 

nên AMCK là hình bình hành

 

Hình bình hành AMCK có MA=MC

 

nên AMCK là hình thoi

 

b: AMCK là hình thoi

 

=>AK//MC và AK=MC

 

AK//MC

 

M

∈

∈BC

 

Do đó: AK//MB

 

AK=MC

 

MC=MB

 

Do đó: AK=MB

 

Xét tứ giác AKMB có

 

AK//MB

 

AK=MB

 

Do đó: AKMB là hình bình hành

 

c; Để hình thoi AMCK trở thành hình vuông thì 

K

C

M

^

=

9

0

0

KCM

 =90 

0

 

 

AMCK là hình thoi

 

=>CA là phân giác của 

K

C

M

^

KCM

 

 

=>

A

C

M

^

=

1

2

⋅

K

C

M

^

=

4

5

0

ACM

 = 

2

1

 

 ⋅ 

KCM

 =45 

0

 

 

=>

A

C

B

^

=

4

5

0

ACB

 =45 

0

 Tam giác ABC vuông cân nên góc B= góc C = 45 độ

 

Tam giácBHE vuông tại H có góc BEH + góc B = 90 độ

 

Suy ra góc BEH = 90 độ - 45 độ = 45 độ nên góc B= góc BEH = 45 độ

 

Vậy tam giác BEH vuông tại H

 

b) Chứng minh tương tự như câu a ta được tam giác CFG vuông tại G nên GF=GC và HB=HE

 

Lại có BH=HG=GC suy ra EH=HG=GF và EH//FG ( cùng vuông góc với BC)

 

Tứ giác EFGH có EH//FG, EH=FG

 

=>tứ giác EFGH là hình bình hành 

 

Xét hình bình hành có một góc vuông là góc H nên là hình chữ nhật

 

Mà hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là EH=HG nên là hình vuông

 

Vậy

EFGH là hình vuông

 

AC⊥Oy (gt); 

O

x

⊥

O

y

Ox⊥Oy (gt) => AC//Oy => AC//OB

 

C/m tương tự có AB//OC

 

=> OBAC là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

 

Mà 

x

O

y

^

=

9

0

o

xOy

 

 =90 

o

 

 

=> OBAC là HCN

 

Ta có

 

AC=AB (Tính chất đường phân giác)

 

=> OBAC là hình vuông