Chào bạn! Chúng ta sẽ cùng nhau khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hai hàm số này nhé.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x^3 + 3x + 1

* Tập xác định: Hàm số đa thức xác định trên toàn bộ tập số thực \mathbb{R}.

* Đạo hàm:

y' = -3x^2 + 3 y'' = -6x

* Điểm tới hạn: Giải phương trình y' = 0:

-3x^2 + 3 = 0 x^2 = 1 x = 1 \text{ hoặc } x = -1

Vậy, các điểm tới hạn là x = 1 và x = -1.

* Khoảng đơn điệu và cực trị:

* Xét dấu y':

* y' > 0 khi -1 < x < 1 (hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1)).

* y' < 0 khi x < -1 hoặc x > 1 (hàm số nghịch biến trên các khoảng (-\infty; -1) và (1; +\infty)).

* Xác định cực trị:

* Tại x = -1, y''(-1) = -6(-1) = 6 > 0, vậy x = -1 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1. Điểm cực tiểu là (-1; -1).

* Tại x = 1, y''(1) = -6(1) = -6 < 0, vậy x = 1 là điểm cực đại. Giá trị cực đại là y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3. Điểm cực đại là (1; 3).

* Điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0:

-6x = 0 x = 0

Tại x = 0, y(0) = -(0)^3 + 3(0) + 1 = 1.

Xét dấu y'':

* y'' > 0 khi x < 0 (đồ thị lồi lên trên).

* y'' < 0 khi x > 0 (đồ thị lõm xuống dưới).

Vậy, điểm uốn là (0; 1).

* Giới hạn tại vô cực:

* \lim_{x \to +\infty} (-x^3 + 3x + 1) = -\infty

* \lim_{x \to -\infty} (-x^3 + 3x + 1) = +\infty

* Bảng biến thiên:

| x | -\infty | -1 | 0 | 1 | +\infty |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y'' | + | + | 0 | - | - |

| y | +\infty | -1 | 1 | 3 | -\infty |

| | | \searrow | \nearrow | \searrow | |

| Tính chất | | Cực tiểu | Uốn | Cực đại | |

| Độ cong | Lồi | Lồi | | Lõm | Lõm |

* Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt (-1; -1), (1; 3), (0; 1) và có hình dáng như sau: (Bạn hình dung một đường cong đi từ góc phần tư thứ II lên đến điểm cực đại (1; 3), sau đó uốn xuống đi qua điểm uốn (0; 1), tiếp tục xuống đến điểm cực tiểu (-1; -1) rồi xuống mãi ở góc phần tư thứ IV).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 4

* Tập xác định: Hàm số đa thức xác định trên toàn bộ tập số thực \mathbb{R}.

* Đạo hàm:

y' = 3x^2 - 6x y'' = 6x - 6

* Điểm tới hạn: Giải phương trình y' = 0:

3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0 x = 0 \text{ hoặc } x = 2

Vậy, các điểm tới hạn là x = 0 và x = 2.

* Khoảng đơn điệu và cực trị:

* Xét dấu y':

* y' > 0 khi x < 0 hoặc x > 2 (hàm số đồng biến trên các khoảng (-\infty; 0) và (2; +\infty)).

* y' < 0 khi 0 < x < 2 (hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)).

* Xác định cực trị:

* Tại x = 0, y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại. Giá trị cực đại là y(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4. Điểm cực đại là (0; 4).

* Tại x = 2, y''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là y(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0. Điểm cực tiểu là (2; 0).

* Điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0:

6x - 6 = 0 x = 1

Tại x = 1, y(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2.

Xét dấu y'':

* y'' < 0 khi x < 1 (đồ thị lồi lên trên).

* y'' > 0 khi x > 1 (đồ thị lõm xuống dưới).

Vậy, điểm uốn là (1; 2).

* Giới hạn tại vô cực:

* \lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x^2 + 4) = +\infty

* \lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x^2 + 4) = -\infty

* Bảng biến thiên:

| x | -\infty | 0 | 1 | 2 | +\infty |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y'' | - | - | 0 | + | + |

| y | -\infty | 4 | 2 | 0 | +\infty |

| | | Cực đại | Uốn | Cực tiểu | |

| Tính chất | | \searrow | \nearrow | \nearrow | |

| Độ cong | Lồi | Lồi | | Lõm | Lõm |

* Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt (0; 4), (2; 0), (1; 2) và có hình dáng như sau: (Bạn hình dung một đường cong đi từ góc phần tư thứ III lên đến điểm cực đại (0; 4), sau đó uốn xuống đi qua điểm uốn (1; 2), tiếp tục xuống đến điểm cực tiểu (2; 0) rồi lên mãi ở góc phần tư thứ I).

Hy vọng phần khảo sát này giúp bạn hiểu rõ hơn về hai hàm số trên! Nếu bạn muốn vẽ đồ thị chính xác hơn, bạn có thể sử dụng phần mềm vẽ đồ thị hoặc vẽ thêm một vài điểm thuộc đồ thị.