Điều kiện 1: (x7y+1)⋮(x+1)

Ta biến đổi biểu thức x7y+1 để tìm mối liên hệ với x+1. Ta có: x7≡(−1)7(modx+1)≡−1(modx+1). Do đó, x7y+1≡(−1)y+1(modx+1)≡1−y(modx+1). Theo điều kiện đề bài, (x7y+1)⋮(x+1), nên ta phải có (1−y)⋮(x+1). Vì x,y là các số nguyên dương, nên x+1≥2 và 1−y là một số nguyên. Vì y≥1, nên 1−y≤0. Nếu 1−y=0, thì y=1. Nếu 1−y<0, thì x+1 phải là ước của ∣1−y∣=y−1. Suy ra, x+1≤y−1, hay x+2≤y.

Tóm lại, từ điều kiện 1, ta có hai trường hợp: y=1 hoặc x+2≤y.

Điều kiện 2: (xy7−1)⋮(y−1)

Ta biến đổi biểu thức xy7−1 để tìm mối liên hệ với y−1. Ta có: y≡1(mody−1). Do đó, y7≡17(mody−1)≡1(mody−1). Suy ra, xy7−1≡x(1)−1(mody−1)≡x−1(mody−1). Theo điều kiện đề bài, (xy7−1)⋮(y−1), nên ta phải có (x−1)⋮(y−1). Vì x,y là các số nguyên dương, nên y−1≥0 và x−1 là một số nguyên. Nếu y−1=0, thì y=1. Trong trường hợp này, điều kiện chia hết luôn đúng với mọi số nguyên x. Nếu y−1>0, thì y−1≥1. Nếu x−1=0, thì x=1. Nếu x−1=0, thì y−1 phải là ước của ∣x−1∣. Suy ra, y−1≤∣x−1∣. Vì x,y là số nguyên dương nên x≥1,y≥1.

• Nếu x>1, thì x−1>0, nên y−1≤x−1, hay y≤x.
• Nếu x=1, thì x−1=0, điều kiện luôn đúng.

Tóm lại, từ điều kiện 2, ta có hai trường hợp: y=1 hoặc y≤x (khi y>1).

Kết hợp hai điều kiện

Bây giờ ta xét các trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1: y=1.

• Điều kiện 1: (x7⋅1+1)⋮(x+1)⟹(x7+1)⋮(x+1). Điều này luôn đúng vì x7+1=(x+1)(x6−x5+x4−x3+x2−x+1).
• Điều kiện 2: (x⋅17−1)⋮(1−1)⟹(x−1)⋮0. Điều này chỉ có ý nghĩa khi ta xét giới hạn. Tuy nhiên, nếu y−1=0, điều kiện chia hết (xy7−1)⋮(y−1) có thể được hiểu là (y−1) là ước của (xy7−1), nhưng ước của 0 không được xác định rõ ràng.

Tuy nhiên, ta có thể suy luận từ (x−1)⋮(y−1). Khi y=1, ta có (x−1)⋮0. Điều này có thể được hiểu là x−1 phải bằng 0. Do đó, x=1. Thử lại với (x,y)=(1,1):

• (17⋅1+1)⋮(1+1)⟹2⋮2 (Đúng).
• (1⋅17−1)⋮(1−1)⟹0⋮0 (Đúng). Vậy (1,1) là một cặp số thỏa mãn.

Trường hợp 2: y>1. Từ điều kiện 1, ta có x+2≤y. Từ điều kiện 2, ta có y≤x. Hai bất đẳng thức này mâu thuẫn nhau: x+2≤y≤x. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu 2≤0, một điều vô lý. Vậy, không có cặp số nguyên dương nào khác thỏa mãn khi y>1.

Kết luận

Chỉ có một cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn cả hai điều kiện là x=1 và y=1.

ERROR 404

Vì cùng bán ở cả hai loại gạo số gạo như nhau nên sau khi bán hiệu số gạo hai loại vẫn như ban đầu là: 115,6kg

Số gạo tẻ lúc sau là:

115,6 : (5 - 1) x 5 = 144,5(kg)

Số gạo tẻ lúc đầu là:

144,5 + 13,5 = 158(kg)

Số gạo nếp lúc đầu là:

158 - 115,6 = 42,4 (kg)

Đáp số: Gạo tẻ lúc đầu có 158kg

Gạo nếp lúc đầu có 42,4kg

1/16^10 ; 1/4^15

=1/(4^2)^10 . 4^15

=1/4^20 .4^15

=1/4^5

x^2+2x+1−y^2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

x^2+2x+1=(x+1)^2

(x+1)^2−y^2

a^2−b^2=(a−b)(a+b)

(x+1)^2−y^2=(x+1−y)(x+1+y)

=(x−y+1)(x+y+1)

Ghi lòng tạc dạ.

=> Ghi dạ tạc lòng. (>~<)

Khi đó, ta có các vector vị trí sau:

• Vector a, b, c lần lượt là vector vị trí của A, B, C.
• Vector m=2b+c​ là vector vị trí của trung điểm M của BC.
• Vector n=2c+a​ là vector vị trí của trung điểm N của CA.
• Vector p​=2a+b​ là vector vị trí của trung điểm P của AB.

Đường thẳng thứ nhất đi qua M và song song với OA (tức là song song với vector a). Phương trình vector của đường thẳng này là: dM​:r=m+t1​a=2b+c​+t1​a

Đường thẳng thứ hai đi qua N và song song với OB (tức là song song với vector b). Phương trình vector của đường thẳng này là: dN​:r=n+t2​b=2c+a​+t2​b

Đường thẳng thứ ba đi qua P và song song với OC (tức là song song với vector c). Phương trình vector của đường thẳng này là: dP​:r=p​+t3​c=2a+b​+t3​c

Để chứng minh ba đường thẳng này đồng quy, ta cần tìm một điểm chung. Giả sử điểm đồng quy đó là K. Vector vị trí của K là k.

Nếu K là giao điểm của dM​ và dN​, ta có: 2b+c​+t1​a=2c+a​+t2​b 2b​+2c​+t1​a=2c​+2a​+t2​b t1​a−2a​+2b​−t2​b=0 (t1​−21​)a+(21​−t2​)b=0 Do a và b là các vector không cùng phương (A, B, O không thẳng hàng), nên đẳng thức trên chỉ xảy ra khi các hệ số bằng 0. t1​−21​=0⟹t1​=21​ 21​−t2​=0⟹t2​=21​

Thay t1​=21​ vào phương trình dM​, ta được vector vị trí của giao điểm K: k=2b+c​+21​a=2a+b+c​

Bây giờ ta kiểm tra xem điểm K này có thuộc đường thẳng dP​ không. Ta cần tìm t3​ sao cho: k=2a+b​+t3​c 2a+b+c​=2a+b​+t3​c 2a+b​+2c​=2a+b​+t3​c 2c​=t3​c Vì c=0, ta suy ra t3​=21​.

Vì tồn tại giá trị t3​=21​ sao cho K thuộc đường thẳng dP​, nên điểm K nằm trên cả ba đường thẳng. Do đó, ba đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm có vector vị trí là k=2a+b+c​.

Đây chính là trọng tâm của tam giác ABC, cũng chính là tâm đường tròn Euler của tam giác.

Bài 1

a. Tìm khối lượng m2​ để thanh cân bằng

Theo đề bài, thanh AB có khối lượng không đáng kể, treo vật có khối lượng m1​=2kg tại đầu A. Điểm treo O cách A một đoạn OA=41​AB.

Để thanh cân bằng, tổng mômen lực tác dụng lên thanh phải bằng 0. Ta chọn trục quay tại điểm O.

• Mômen lực do vật m1​ gây ra là M1​=P1​⋅OA=m1​⋅g⋅OA.
• Mômen lực do vật m2​ gây ra là M2​=P2​⋅OB=m2​⋅g⋅OB.

Vì thanh cân bằng nên M1​=M2​. m1​⋅g⋅OA=m2​⋅g⋅OB m1​⋅OA=m2​⋅OB

Ta có AB=OA+OB. Vì OA=41​AB, suy ra OB=AB−OA=AB−41​AB=43​AB. Thay các giá trị vào phương trình: m1​⋅41​AB=m2​⋅43​AB m1​⋅41​=m2​⋅43​ m2​=m1​⋅31​ m2​=2⋅31​=32​≈0.67kg

Vậy, khối lượng của vật m2​ phải là khoảng 0.67kg để thanh cân bằng.

b. Vị trí treo m2​ khi m1​ nhúng vào chất lỏng

Khi vật m1​ được nhúng vào chất lỏng, nó chịu thêm một lực đẩy Archimedes FA​. FA​=Dcl​⋅V1​⋅g. Khối lượng riêng của chất lỏng bằng 1/2 khối lượng riêng của vật, tức là Dcl​=21​D1​. FA​=21​D1​⋅V1​⋅g. Vì m1​=D1​⋅V1​, nên D1​⋅V1​⋅g=m1​⋅g=P1​. Suy ra, FA​=21​m1​⋅g.

Lực căng dây treo vật m1​ lúc này là P1′​=P1​−FA​=m1​g−21​m1​g=21​m1​g. Để thanh cân bằng, ta lại áp dụng điều kiện mômen lực: P1′​⋅OA=P2​⋅OB′ 21​m1​g⋅OA=m2​g⋅OB′ 21​m1​⋅OA=m2​⋅OB′

Ở phần a, ta đã tìm được m2​=31​m1​ và OA=41​AB. 21​m1​⋅41​AB=31​m1​⋅OB′ 81​=31​⋅ABOB′​ ABOB′​=81​⋅3=83​ Vậy, vật m2​ phải được treo cách điểm O một khoảng OB′=83​AB.

Bài 2

Tìm chiều dài của thanh kim loại khi nó cân bằng.

Theo hình vẽ, hệ thống ròng rọc có một ròng rọc cố định và một ròng rọc động. Lực căng dây tác dụng lên vật m2​ sẽ được chia đều cho hai đoạn dây treo ròng rọc động, do đó, lực kéo tại ròng rọc động sẽ bằng Frrd​=2P2​​=2m2​⋅g​.

Thanh kim loại cân bằng quanh điểm O. Ta áp dụng quy tắc mômen lực với trục quay tại O.

• Lực tác dụng lên đầu D là lực căng dây do hệ ròng rọc tạo ra, FD​=2P2​​. Điểm D cách O một đoạn DO.
• Lực tác dụng lên điểm A là trọng lực của vật m1​, P1​=m1​⋅g. Điểm A cách O một đoạn AO.

Theo đề bài: m1​=7.5kg m2​=10kg Khoảng cách từ A đến D là AD=0.6m.

Để thanh cân bằng, tổng mômen lực phải bằng 0. MD​=MA​ FD​⋅OD=P1​⋅OA 2m2​⋅g​⋅OD=m1​⋅g⋅OA 2m2​​⋅OD=m1​⋅OA 210​⋅OD=7.5⋅OA 5⋅OD=7.5⋅OA OD=1.5⋅OA

Ta có AD=OD+OA=0.6m. Thay OD=1.5⋅OA vào phương trình trên: 1.5⋅OA+OA=0.6 2.5⋅OA=0.6 OA=2.50.6​=0.24m

OD=1.5⋅OA=1.5⋅0.24=0.36m

Chiều dài của thanh là L=OD+OA=0.36+0.24=0.6m.

Vậy chiều dài của thanh kim loại là 0.6m.

7.Minh là một người khá hướng nội, ít nói, nhưng rất chu đáo và hiểu biết
8.Khi còn nhỏ, tôi sống vô cùng khép kín và chưa bao giờ nghĩ rằng mình có thể làm bạn với một người khác ngoài gia đình
-Khi còn nhỏ ,em sống rất lạc quan và yêu đời.
9.Tình bạn là yếu tố quan trọng giúp chúng ta vượt qua khó khăn trong cuộc sống

Chúng ta cần chung tay gìn giữ vệ sinh , cảnh báo không xúc phạm hay chửi ở nơi đền chùa và tuyên truyền nét đẹp cho các bạn cùng nước và ngoài nước