https://olm.vn/hoi-dap/thanh-vien/vanthanhtb

đúng đó

Tiên đề Peano và chứng minh 1+1=2

Các tiên đề Peano được nhà toán học Giuseppe Peano đưa ra để xây dựng số học trên nền tảng logic. Hệ thống này bao gồm 5 tiên đề, trong đó quan trọng nhất cho việc chứng minh phép toán 1+1=2 là:

1. Số 0 là một số tự nhiên.
2. Mọi số tự nhiên n đều có một số liền sau, ký hiệu là S(n).
3. Số 0 không phải là số liền sau của bất kỳ số tự nhiên nào.
4. Nếu hai số tự nhiên có cùng số liền sau thì chúng bằng nhau.
5. Nguyên lý quy nạp toán học: Nếu một tập hợp chứa số 0 và chứa số liền sau của mọi phần tử của nó, thì tập hợp đó chính là tập hợp tất cả các số tự nhiên.

Sử dụng các tiên đề này, chúng ta định nghĩa các số tự nhiên khác:

• 1 được định nghĩa là S(0).
• 2 được định nghĩa là S(1) hay S(S(0)).

Tiếp theo, chúng ta định nghĩa phép cộng (+) dựa trên hai quy tắc sau:

• Đối với bất kỳ số tự nhiên n, n+0=n.
• Đối với bất kỳ số tự nhiên m và n, m+S(n)=S(m+n).

Bây giờ, chúng ta có thể chứng minh 1+1=2 một cách logic:

1. Từ định nghĩa, ta có 1=S(0).
2. Ta cần tính 1+1, hay 1+S(0).
3. Theo quy tắc cộng thứ hai, ta có 1+S(0)=S(1+0).
4. Theo quy tắc cộng thứ nhất, ta có 1+0=1.
5. Thay kết quả này vào, ta được S(1+0)=S(1).
6. Từ định nghĩa, ta có S(1)=2.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được 1+1=2

Điều kiện 1: (x7y+1)⋮(x+1)

Ta biến đổi biểu thức x7y+1 để tìm mối liên hệ với x+1. Ta có: x7≡(−1)7(modx+1)≡−1(modx+1). Do đó, x7y+1≡(−1)y+1(modx+1)≡1−y(modx+1). Theo điều kiện đề bài, (x7y+1)⋮(x+1), nên ta phải có (1−y)⋮(x+1). Vì x,y là các số nguyên dương, nên x+1≥2 và 1−y là một số nguyên. Vì y≥1, nên 1−y≤0. Nếu 1−y=0, thì y=1. Nếu 1−y<0, thì x+1 phải là ước của ∣1−y∣=y−1. Suy ra, x+1≤y−1, hay x+2≤y.

Tóm lại, từ điều kiện 1, ta có hai trường hợp: y=1 hoặc x+2≤y.

Điều kiện 2: (xy7−1)⋮(y−1)

Ta biến đổi biểu thức xy7−1 để tìm mối liên hệ với y−1. Ta có: y≡1(mody−1). Do đó, y7≡17(mody−1)≡1(mody−1). Suy ra, xy7−1≡x(1)−1(mody−1)≡x−1(mody−1). Theo điều kiện đề bài, (xy7−1)⋮(y−1), nên ta phải có (x−1)⋮(y−1). Vì x,y là các số nguyên dương, nên y−1≥0 và x−1 là một số nguyên. Nếu y−1=0, thì y=1. Trong trường hợp này, điều kiện chia hết luôn đúng với mọi số nguyên x. Nếu y−1>0, thì y−1≥1. Nếu x−1=0, thì x=1. Nếu x−1=0, thì y−1 phải là ước của ∣x−1∣. Suy ra, y−1≤∣x−1∣. Vì x,y là số nguyên dương nên x≥1,y≥1.

• Nếu x>1, thì x−1>0, nên y−1≤x−1, hay y≤x.
• Nếu x=1, thì x−1=0, điều kiện luôn đúng.

Tóm lại, từ điều kiện 2, ta có hai trường hợp: y=1 hoặc y≤x (khi y>1).

Kết hợp hai điều kiện

Bây giờ ta xét các trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1: y=1.

• Điều kiện 1: (x7⋅1+1)⋮(x+1)⟹(x7+1)⋮(x+1). Điều này luôn đúng vì x7+1=(x+1)(x6−x5+x4−x3+x2−x+1).
• Điều kiện 2: (x⋅17−1)⋮(1−1)⟹(x−1)⋮0. Điều này chỉ có ý nghĩa khi ta xét giới hạn. Tuy nhiên, nếu y−1=0, điều kiện chia hết (xy7−1)⋮(y−1) có thể được hiểu là (y−1) là ước của (xy7−1), nhưng ước của 0 không được xác định rõ ràng.

Tuy nhiên, ta có thể suy luận từ (x−1)⋮(y−1). Khi y=1, ta có (x−1)⋮0. Điều này có thể được hiểu là x−1 phải bằng 0. Do đó, x=1. Thử lại với (x,y)=(1,1):

• (17⋅1+1)⋮(1+1)⟹2⋮2 (Đúng).
• (1⋅17−1)⋮(1−1)⟹0⋮0 (Đúng). Vậy (1,1) là một cặp số thỏa mãn.

Trường hợp 2: y>1. Từ điều kiện 1, ta có x+2≤y. Từ điều kiện 2, ta có y≤x. Hai bất đẳng thức này mâu thuẫn nhau: x+2≤y≤x. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu 2≤0, một điều vô lý. Vậy, không có cặp số nguyên dương nào khác thỏa mãn khi y>1.

Kết luận

Chỉ có một cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn cả hai điều kiện là x=1 và y=1.

ERROR 404

Vì cùng bán ở cả hai loại gạo số gạo như nhau nên sau khi bán hiệu số gạo hai loại vẫn như ban đầu là: 115,6kg

Số gạo tẻ lúc sau là:

115,6 : (5 - 1) x 5 = 144,5(kg)

Số gạo tẻ lúc đầu là:

144,5 + 13,5 = 158(kg)

Số gạo nếp lúc đầu là:

158 - 115,6 = 42,4 (kg)

Đáp số: Gạo tẻ lúc đầu có 158kg

Gạo nếp lúc đầu có 42,4kg

1/16^10 ; 1/4^15

=1/(4^2)^10 . 4^15

=1/4^20 .4^15

=1/4^5

x^2+2x+1−y^2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

x^2+2x+1=(x+1)^2

(x+1)^2−y^2

a^2−b^2=(a−b)(a+b)

(x+1)^2−y^2=(x+1−y)(x+1+y)

=(x−y+1)(x+y+1)

Ghi lòng tạc dạ.

=> Ghi dạ tạc lòng. (>~<)

Khi đó, ta có các vector vị trí sau:

• Vector a, b, c lần lượt là vector vị trí của A, B, C.
• Vector m=2b+c​ là vector vị trí của trung điểm M của BC.
• Vector n=2c+a​ là vector vị trí của trung điểm N của CA.
• Vector p​=2a+b​ là vector vị trí của trung điểm P của AB.

Đường thẳng thứ nhất đi qua M và song song với OA (tức là song song với vector a). Phương trình vector của đường thẳng này là: dM​:r=m+t1​a=2b+c​+t1​a

Đường thẳng thứ hai đi qua N và song song với OB (tức là song song với vector b). Phương trình vector của đường thẳng này là: dN​:r=n+t2​b=2c+a​+t2​b

Đường thẳng thứ ba đi qua P và song song với OC (tức là song song với vector c). Phương trình vector của đường thẳng này là: dP​:r=p​+t3​c=2a+b​+t3​c

Để chứng minh ba đường thẳng này đồng quy, ta cần tìm một điểm chung. Giả sử điểm đồng quy đó là K. Vector vị trí của K là k.

Nếu K là giao điểm của dM​ và dN​, ta có: 2b+c​+t1​a=2c+a​+t2​b 2b​+2c​+t1​a=2c​+2a​+t2​b t1​a−2a​+2b​−t2​b=0 (t1​−21​)a+(21​−t2​)b=0 Do a và b là các vector không cùng phương (A, B, O không thẳng hàng), nên đẳng thức trên chỉ xảy ra khi các hệ số bằng 0. t1​−21​=0⟹t1​=21​ 21​−t2​=0⟹t2​=21​

Thay t1​=21​ vào phương trình dM​, ta được vector vị trí của giao điểm K: k=2b+c​+21​a=2a+b+c​

Bây giờ ta kiểm tra xem điểm K này có thuộc đường thẳng dP​ không. Ta cần tìm t3​ sao cho: k=2a+b​+t3​c 2a+b+c​=2a+b​+t3​c 2a+b​+2c​=2a+b​+t3​c 2c​=t3​c Vì c=0, ta suy ra t3​=21​.

Vì tồn tại giá trị t3​=21​ sao cho K thuộc đường thẳng dP​, nên điểm K nằm trên cả ba đường thẳng. Do đó, ba đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm có vector vị trí là k=2a+b+c​.

Đây chính là trọng tâm của tam giác ABC, cũng chính là tâm đường tròn Euler của tam giác.