1. • Xét hai tam giác vuông \(\triangle A H B\) và \(\triangle C K D\):
   • Theo giả thiết, \(A H \bot B D\) tại H, nên \(\angle A H B = 9 0^{\circ}\).
   • Theo giả thiết, \(C K \bot B D\) tại K, nên \(\angle C K D = 9 0^{\circ}\).
   • Vì \(A B \parallel D C\) và BD là đường cắt ngang, suy ra các cặp góc so le trong bằng nhau: \(\angle A B H = \angle C D K\).
   • Ta có:
   • • \(A B = D C\) (cạnh đối của hình bình hành ABCD).
     • \(\angle A H B = \angle C K D = 9 0^{\circ}\) (theo giả thiết).
     • \(\angle A B H = \angle C D K\) (so le trong).
   • Do đó, \(\triangle A H B\) bằng \(\triangle C K D\) theo trường hợp góc - góc - cạnh (G.G.C)
   • Suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau
   • vì \(\triangle A H B\)= \(\triangle C K D\), ta suy ra:
   • • \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).
     • \(B H = D K\) (hai cạnh tương ứng).
   • Kết luận tứ giác AHCK là hình bình hành
   • Vì \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\), nên AH và CK cùng vuông góc với đường thẳng BD. Điều này suy ra \(A H \parallel C K\).
   • Xét tứ giác AHCK có một cặp cạnh đối là AH và CK song song với nhau (\(A H \parallel C K\)) và bằng nhau về độ dài (\(A H = C K\)).
   • Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác AHCK là hình bình hành.

• • Hai cạnh đối song song: \(A D \parallel B C\) và \(A B \parallel D C\).
  • Hai cạnh đối bằng nhau: \(A D = B C\) và \(A B = D C\).
• Theo giả thiết, E là trung điểm của AD. Do đó, ta có:\(E D = \frac{1}{2} A D\) Và đoạn thẳng ED nằm trên đường thẳng AD.
• Theo giả thiết, F là trung điểm của BC. Do đó, ta có:\(B F = \frac{1}{2} B C\) Và đoạn thẳng BF nằm trên đường thẳng BC.
• Từ \(A D = B C\), ta suy ra:\(E D = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} B C = B F\)Vậy, \(E D = B F\).
• Vì \(A D \parallel B C\), suy ra đoạn thẳng ED nằm trên AD cũng song song với đoạn thẳng BF nằm trên BC.

  Vậy, \(E D \parallel B F\).

• Xét tứ giác EBFD, có
• • \(E D \parallel B F\).
  •  \(E D = B F\).
• Do đó, tứ giác EBFD là hình bình hành.(Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

• Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Do đó, O là trung điểm của đường chéo AC và O cũng là trung điểm của đường chéo BD.
• Xét tam giác ADC:
• • E là trung điểm của cạnh AD (theo giả thiết).
  • O là trung điểm của cạnh AC (vì O là giao điểm hai đường chéo).
  • Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng OE nối hai trung điểm của hai cạnh AD và AC sẽ song song với cạnh thứ ba DC và có độ dài bằng một nửa cạnh đó:\(O E \parallel D C\)\(O E = \frac{1}{2} D C\)
• Xét tam giác ABC:
• • O là trung điểm của cạnh AC (vì O là giao điểm hai đường chéo).
  • F là trung điểm của cạnh BC (theo giả thiết).
  • Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng OF nối hai trung điểm của hai cạnh AC và BC sẽ song song với cạnh thứ ba AB và có độ dài bằng một nửa cạnh đó:\(O F \parallel A B\)\(O F = \frac{1}{2} A B\)
• Vì ABCD là hình bình hành, ta có \(A B \parallel D C\).
• Từ \(O E \parallel D C\) và \(A B \parallel D C\), suy ra \(O E \parallel A B\).
• Từ \(O F \parallel A B\), ta cũng có \(O F \parallel A B\).
• vậy, cả hai đoạn thẳng OE và OF đều song song với cạnh AB và cùng đi qua điểm O.
• Do đó, ba điểm E, O, F thẳng hàng

1. • Theo giả thiết, BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên M là trung điểm của cạnh AC.
   • Theo giả thiết, CN là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên N là trung điểm của cạnh AB.
   • Xét tam giác ABC, đoạn thẳng MN nối hai trung điểm N của cạnh AB và M của cạnh AC.
   • Theo định lý đường trung bình, ta có:
   • • Đoạn thẳng MN song song với cạnh BC (\(M N \parallel B C\)).
     • Độ dài đoạn thẳng MN bằng một nửa độ dài cạnh BC (\(M N = \frac{1}{2} B C\)).
   • Theo giả thiết, P là trung điểm của đoạn thẳng GB.
   • Theo giả thiết, Q là trung điểm của đoạn thẳng GC.
   • Xét tam giác GBC, đoạn thẳng PQ nối hai trung điểm P của cạnh GB và Q của cạnh GC.
   • Theo định lý đường trung bình, ta có:
   • • Đoạn thẳng PQ song song với cạnh BC (\(P Q \parallel B C\)).
     • Độ dài đoạn thẳng PQ bằng một nửa độ dài cạnh BC (\(P Q = \frac{1}{2} B C\)).
   • Từ các kết quả trên, ta thấy \(M N \parallel B C\) và \(P Q \parallel B C\). Do đó, hai đoạn thẳng MN và PQ cùng song song với BC, suy ra chúng song song với nhau: \(M N \parallel P Q\).
   • Mặt khác, ta có \(M N = \frac{1}{2} B C\) và \(P Q = \frac{1}{2} B C\). Do đó, độ dài của MN bằng độ dài của PQ: \(M N = P Q\).
   • Xét tứ giác PQMN, ta có một cặp cạnh đối là MN và PQ song song với nhau (\(M N \parallel P Q\)) và có độ dài bằng nhau (\(M N = P Q\)).
   • Vậy, tứ giác PQMN là hình bình hành.

 \(A B = C D\) (2)

• Theo giả thiết, B là trung điểm của AE, nên \(A B = B E\) và ba điểm A, B, E thẳng hàng.

  Từ \(A B = B E\), ta suy ra \(A E = A B + B E = 2 A B\).

  Theo giả thiết, C là trung điểm của DF, nên \(D C = C F\) và ba điểm D, C, F thẳng hàng.

  Từ \(D C = C F\), ta suy ra \(D F = D C + C F = 2 D C\).

  Từ (1), vì \(A B \parallel C D\) và A, B, E thẳng hàng, D, C, F thẳng hàng, ta suy ra \(A E \parallel D F\).

  Từ (2), vì \(A B = C D\) và \(A E = 2 A B\), \(D F = 2 D C\), suy ra \(A E = D F\).

  Xét tứ giác AEFD có hai cạnh đối \(A E\) và \(D F\) vừa song song, vừa bằng nhau (\(A E \parallel D F\) và \(A E = D F\)). Do đó, tứ giác AEFD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
•  Vì ABCD là hình bình hành, ta có \(A B \parallel D C\) và \(A B = D C\). Theo giả thiết, C là trung điểm của DF, nên \(D C = C F\). Từ \(A B = D C\) và \(D C = C F\), ta suy ra \(A B = C F\). Vì \(A B \parallel D C\) và F nằm trên đường thẳng DC (cụ thể là F nằm trên tia đối của tia DC nếu xét theo thứ tự D, C, F), nên \(A B \parallel C F\). Xét tứ giác ABFC có hai cạnh đối \(A B\) và \(C F\) vừa song song, vừa bằng nhau (\(A B \parallel C F\) và \(A B = C F\)). Do đó, tứ giác ABFC là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

1. \(O A = O C\) (Vì O là trung điểm của đường chéo AC trong hình bình hành ABCD).
2. \(\angle O A M = \angle O C N\) (Vì ABCD là hình bình hành nên \(A B \parallel C D\). \(\angle O A M\) là góc so le trong với \(\angle O C N\) tạo bởi đường thẳng AC cắt hai đường thẳng song song AB và CD).
3. \(\angle A M O = \angle C N O\) (Vì ABCD là hình bình hành nên \(A B \parallel C D\). \(\angle A M O\) là góc so le trong với \(\angle C N O\) tạo bởi đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song AB và CD).

\(A B = C D\) (2)

• Do E là trung điểm của AB nên \(A E = \frac{1}{2} A B\). Do F là trung điểm của CD nên \(D F = \frac{1}{2} C D\). Từ (1), vì \(A B \parallel C D\) và E thuộc AB, F thuộc CD nên \(A E \parallel D F\).

  Từ (2), vì \(A B = C D\) và \(A E = \frac{1}{2} A B\), \(D F = \frac{1}{2} C D\), suy ra \(A E = D F\).

  Xét tứ giác AEFD có hai cạnh đối \(A E\) và \(D F\) vừa song song, vừa bằng nhau (\(A E \parallel D F\) và \(A E = D F\)). Do đó, tứ giác AEFD là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
•  Tương tự, vì ABCD là hình bình hành nên \(A B \parallel C D\). Do E là trung điểm của AB nên \(A E = \frac{1}{2} A B\). Do F là trung điểm của CD nên \(C F = \frac{1}{2} C D\). Từ \(A B \parallel C D\) và E thuộc AB, F thuộc CD, suy ra \(A E \parallel C F\).

  Vì \(A B = C D\) và \(A E = \frac{1}{2} A B\), \(C F = \frac{1}{2} C D\), suy ra \(A E = C F\).

  Xét tứ giác AECF có hai cạnh đối \(A E\) và \(C F\) vừa song song, vừa bằng nhau (\(A E \parallel C F\) và \(A E = C F\)).

  Do đó, tứ giác AECF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

• tứ giác AECF là hình bình hành(câu a). Trong hình bình hành AECF, hai cạnh đối diện là AF và EC. Do đó, \(A F = E C\) ( tính chất của hình bình hành).