1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

2. Sự biến thiên: Viết $y=x+1+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-2}$.

Ta có: $y^{\prime }=1-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{(x-2{)}^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$.

Vậy $y^{\prime }=0\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=0\iff x=1\text{ hoặc }x=3$.

Trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng $(1;2)$ và $(2;3)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ với $y^{\text{CĐ}}=1$; hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với $y^{\text{CT}}=5$.

$\stackrel{\lim }{x\to -\infty }y=\stackrel{\lim }{x\to +\infty }\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2-x-1}{x-2}=\stackrel{\lim }{x\to +\infty }\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x}}{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x}}=+\infty$.

Tiệm cận: $\stackrel{\lim }{x\to 2}y=\stackrel{\lim }{x\to 2}\left(x+1+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-2}\right)=+\infty$.

$\stackrel{\lim }{x\to 2}[y-(x+1)]=\stackrel{\lim }{x\to 2}\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-2}=+\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+1$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}).$

+) Ta có $y=0\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{x^2-x-1}{x-2}$

$\iff x=\genfrac{}{}{0ex}{}{1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{1+\sqrt{5}}{2}$.

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1-\sqrt{5}}{2};0)$ và $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1+\sqrt{5}}{2};0)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(2;3)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

$a)y=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x-2};$

1. Tập xác định của hàm số $\mathbb{R}$ \ $\{2\}$.

2. Sự biến thiên:

+) Ta có: $y^{\prime }=-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$.

+) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$.

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận:

$\stackrel{\lim }{x\to 2^{-}}y=\stackrel{\lim }{x\to 2^{-}}\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x-2}=-\infty$

$\stackrel{\lim }{x\to 2^{+}}y=\stackrel{\lim }{x\to 2^{+}}\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x-2}=+\infty$

$\stackrel{\lim }{x\to +\infty }y=\stackrel{\lim }{x\to +\infty }\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x-2}=1;$

$\stackrel{\lim }{x\to -\infty }y=\stackrel{\lim }{x\to -\infty }\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x-2}=1.$

+) Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.

3. Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;-1\right)$.

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $(-1;0)$.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(2;1)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

$b)y=\genfrac{}{}{0ex}{}{2x+1}{x-1}.$

1. Tập xác định của hàm số $\mathbb{R}$ \ $\{1\}$.

2. Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\stackrel{\lim }{x\to -1^{-}}y=-\infty ,\stackrel{\lim }{x\to -1^{+}}y=+\infty .$

Vậy $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\stackrel{\lim }{x\to +\infty }y=2,\stackrel{\lim }{x\to -\infty }y=2.$

Do đó, đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$y^{\prime }=\genfrac{}{}{0ex}{}{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1.$

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;-1)$.

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $(-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2};0)$.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0;-1)$, $(-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2};0)$, $(-2;1)$, $(2;5)$, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2};4)$ và $(4;3)$.

Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}$.

2) Sự biến thiên:

+) Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+3$. Vậy $y^{\prime }=0$ khi $x=-1$hoặc $x=1$.

+) Trên khoảng $(-1;1)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$, giá trị cực tiểu $y^{CT}=-1$. Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại $y^{CĐ}=3$.

+) Giới hạn tại vô cực: $\stackrel{\lim }{x\to -\infty }y=+\infty$

$\stackrel{\lim }{x\to +\infty }y=-\infty$

+) Bảng biến thiên:

 3) Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;1)$.

+) Ta thấy hàm số cắt trục tung tại $3$ điểm phân biệt.

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(0;1)$.

$b)$ $y=x^3-3x^2+4.$

1) Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}$.

2) Sự biến thiên:

+) Giới hạn tại vô cực: $\stackrel{\lim }{x\to +\infty }y=+\infty$

$\stackrel{\lim }{x\to -\infty }y=-\infty$

$y^{\prime }=3x^2-6x;$

$y^{\prime }=0\iff 3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

3) Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;4)$.

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $(-1;0)$ và $(2;0)$.

.