$analysis$ Bài toán yêu cầu chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai biểu thức $21a+13b$ và $8a+5b$ bằng với ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

$step_1$ Ta sẽ chứng minh rằng $(21a+13b, 8a+5b) \le (a,b)$.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng mọi ước chung của $21a+13b$ và $8a+5b$ cũng là ước chung của $a$ và $b$.

Giả sử $d$ là một ước chung của $21a+13b$ và $8a+5b$. Khi đó, ta có:

$$

\begin{aligned}

21a+13b &\equiv 0 \pmod{d} \\

8a+5b &\equiv 0 \pmod{d}

\end{aligned}

$$

Nhân phương trình thứ nhất với $5$ và phương trình thứ hai với $-13$, ta được:

$$

\begin{aligned}

105a + 65b &\equiv 0 \pmod{d} \\

-104a - 65b &\equiv 0 \pmod{d}

\end{aligned}

$$

Cộng hai phương trình trên, ta được:

$$

a \equiv 0 \pmod{d}

$$

Tương tự, nhân phương trình thứ nhất với $-8$ và phương trình thứ hai với $21$, ta được:

$$

\begin{aligned}

-168a - 104b &\equiv 0 \pmod{d} \\

168a + 105b &\equiv 0 \pmod{d}

\end{aligned}

$$

Cộng hai phương trình trên, ta được:

$$

b \equiv 0 \pmod{d}

$$

Do đó, $d$ là ước chung của $a$ và $b$. Vậy $(21a+13b, 8a+5b) \le (a,b)$.

$step_2$ Ta sẽ chứng minh rằng $(a,b) \le (21a+13b, 8a+5b)$.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng mọi ước chung của $a$ và $b$ cũng là ước chung của $21a+13b$ và $8a+5b$.

Giả sử $d$ là một ước chung của $a$ và $b$. Khi đó, ta có:

$$

\begin{aligned}

a &\equiv 0 \pmod{d} \\

b &\equiv 0 \pmod{d}

\end{aligned}

$$

Nhân phương trình thứ nhất với $21$ và phương trình thứ hai với $13$, ta được:

$$

\begin{aligned}

21a &\equiv 0 \pmod{d} \\

13b &\equiv 0 \pmod{d}

\end{aligned}

$$

Cộng hai phương trình trên, ta được:

$$

21a + 13b \equiv 0 \pmod{d}

$$

Tương tự, nhân phương trình thứ nhất với $8$ và phương trình thứ hai với $5$, ta được:

$$

\begin{aligned}

8a &\equiv 0 \pmod{d} \\

5b &\equiv 0 \pmod{d}

\end{aligned}

$$

Cộng hai phương trình trên, ta được:

$$

8a + 5b \equiv 0 \pmod{d}

$$

Do đó, $d$ là ước chung của $21a+13b$ và $8a+5b$. Vậy $(a,b) \le (21a+13b, 8a+5b)$.

$step_3$ Từ hai bước trên, ta có $(21a+13b, 8a+5b) \le (a,b)$ và $(a,b) \le (21a+13b, 8a+5b)$. Do đó, $(21a+13b, 8a+5b) = (a,

b)$.

$answer$ Vậy ta đã chứng minh được $(21a+13b, 8a+5b) = (a,b)$.