Ta có M = x + 1/[y(x - y)]

>= x + 1/[(y + x - y)²/4] (dùng bất đẳng thức ab <= (a + b)²/4)

= x + 1/(x²/4)

= x + 4/x²

= x/2 + x/2 + 4/x²

>= 3 * căn bậc ba [(x/2)*(x/2)*(4/x²)]

= 3

Dấu "=" xảy ra khi y = x - y và x/2 = 4/x²

hay x = 2, y = 1

Vậy GTNN của M là 3 khi x = 2, y = 1

ƯCLN(a,b) = 8

=> a = 8m;  b = 8n (m,n là số tự nhiên và ƯCLN(m,n) = 1

a + b = 32 => 8m + 8n = 32 => m + n = 4

Ta liệt kê tất cả các cặp số tự nhiên (m, n) thỏa mãn ƯCLN(m,n) = 1 và m + n = 4. Các cặp đó là (1, 3) và (3, 1)

=> (a, b) = (8, 24) hoặc (24, 8)

Vậy (a, b) là (8, 24) hoặc (24, 8) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

code Python:

a = int(input("Nhập độ dài cạnh của hình vuông:"))

print("Chu vi hình vuông là",a*4)

print("Diện tích hình vuông là",a*a)

Ta thấy \(\dfrac{a+b}{2}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\left(\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\right)=a+b\)

Điều này có nghĩa là khi ta xóa 2 số \(a,b\) và thay bằng 2 số \(\dfrac{a+b}{2}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}},\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\) thì tổng của các số trên bảng là không đổi.

Tổng các số trên bảng ban đầu là \(2021+2022+2023+2024=8090\), do đó, sau mỗi lượt chơi, tổng các số trên bảng luôn phải bằng 8090

Tuy nhiên, khi trên bảng còn 4 số 2025 thì tổng của chúng lại là \(4.2025=8100\). Như vậy, ta không thể có được 4 số 2025.

\(4Na+O_2\underrightarrow{t^o}2Na_2O\)

\(Na_2O+H_2O\rightarrow2NaOH\)

\(2NaOH+H_2SO_4\rightarrow Na_2SO_4+2H_2O\)

Gọi O là tâm của lục giác đều thì dễ thấy ABOF là hình bình hành

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AO}\)

Mà \(\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)

-> Chọn B

Bạn muốn xem hình thì vào trang cá nhân của mình xem nhé.

Dễ thấy A, B nằm cùng phía đối với mp (Oxy)

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên mp (Oxy) 

\(\Rightarrow H\left(1;2;0\right),K\left(7;10;0\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{HK}=\left(6;8;0\right)\)

Để \(P=AM+BN\) nhỏ nhất, dễ thấy M, N phải nằm trên đường thẳng HK

\(\Rightarrow\exists k\inℝ:\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{HK}=\left(6k;8k;0\right)\)

Mà \(MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{\left(6k\right)^2+\left(8k\right)^2}=10k=4\) \(\Rightarrow k=\dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{16}{5};0\right)=\overrightarrow{u}\)

Gọi C là điểm đối xứng với A qua (Oxy) \(\Rightarrow C\left(1;2;-3\right)\)

Gọi \(A'=T_{\overrightarrow{u}}\left(C\right)\Rightarrow A'\left(\dfrac{17}{5};\dfrac{26}{5};-3\right)\) 

Khi đó dễ thấy tứ giác MNA'C là hình bình hành (vì A' là ảnh của C qua \(\overrightarrow{MN}\)) nên \(MC=NA'\)

Hơn nữa, vì C đối xứng với A qua (Oxy) \(\Rightarrow MA=MC\Rightarrow MA=NA'\)

\(\Rightarrow T=AM+BN=A'N+BN\ge A'B\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) N là giao điểm của A'B và (Oxy)

Khi đó \(\overrightarrow{A'B}=\left(\dfrac{18}{5};\dfrac{24}{5};9\right)\). Chọn \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(6;8;15\right)\)

\(\Rightarrow A'B:\dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y-10}{8}=\dfrac{z-6}{15}\)

Cho A'B cắt (Oxy) \(\Rightarrow z=0\)  \(\Rightarrow\dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y-10}{8}=-\dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{23}{5}\\y=\dfrac{34}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(\dfrac{23}{5};\dfrac{34}{5};0\right)\)

Lại có \(\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{16}{5};0\right)\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{5};\dfrac{18}{5};0\right)\)

\(\Rightarrow x_M+y_N=\dfrac{11}{5}+\dfrac{34}{5}=9\)

Vậy \(x_M+y_N=9\)