Có \(2020\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)+\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\ge2020.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a}+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\) 

(áp dụng BĐT \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) và \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\))

\(=2020\left(a+b+c\right)+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)

\(=2020+\dfrac{1}{9}\) (vì \(a+b+c=1\))

\(=\dfrac{18181}{9}\)

Vậy GTNN là \(\dfrac{18181}{9}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Gọi 8 số đó là \(n_i=\overline{a_ib_i}\) với \(1\le i\le8\).

Với mỗi 2 số \(n_i,n_j\left(i\ne j,1\le i,j\le8\right)\), ta có:

\(N_{ij}=\overline{a_ib_i0a_jb_j}\) 

\(=10000a_i+1000b_i+10a_j+b_j\)

\(=10010a_i+1001b_i+\left(10a_j-10a_i\right)+\left(b_j-b_i\right)\)

\(=10010a_i+1001b_i+n_j-n_i\)

 Để ý rằng một số khi chia cho 7 chỉ có 7 số dư phân biệt là 0, 1, 2,..., 6. Do ta chọn 8 số \(n_i\) nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại 2 số \(n_k,n_l\left(k\ne l,1\le k,l\le8\right)\) mà chúng có cùng số dư khi chia cho 7.

 \(\Rightarrow n_k-n_l⋮7\)

 Khi đó \(N_{kl}=10010a_k+1001b_k+\left(n_l-n_k\right)⋮7\)  (do \(1001⋮7\))

 Vậy ta có đpcm.

Kí hiệu \(\left(a,b\right)\) và \(\left[a,b\right]\) lần lượt là ƯCLN và BCNN của \(a\) và \(b\).

Đặt \(\left(a,b\right)=d\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=dm\\b=dn\end{matrix}\right.\) với \(\left(m,n\right)=1\). Khi đó \(\left[a,b\right]=dmn\)

Do đó \(\left[a,b\right]+\left(a,b\right)=15\Leftrightarrow dmn+d=15\) \(\Leftrightarrow d\left(mn+1\right)=15\)

Ta xét các trường hợp: 

TH1: \(d=1,mn+1=15\) \(\Rightarrow a=m,b=n\)  và do đó \(ab=14\)

\(\Rightarrow a=1,b=14\) hoặc \(a=2,b=7\)

TH2: \(d=3,mn+1=5\Rightarrow a=3m,b=3n\) và \(mn=4\)

Nếu \(m=1,n=4\Rightarrow a=3,b=12\), nhận.

Nếu \(m=n=2\) \(\Rightarrow a=b=6\), loại.

TH3: \(d=5,mn+1=3\) \(\Rightarrow a=5m,b=5n,mn=2\)

\(\Rightarrow m=1,n=2\) \(\Rightarrow a=5,b=10\), nhận.

TH4: \(d=15,mn+1=1\Rightarrow a=15m,b=15n,mn=0\)

\(\Rightarrow m=0\) \(\Rightarrow a=0\). Khi đó \(\left[0,b\right]+\left(0,b\right)=15\Leftrightarrow\left(0,b\right)=15\Leftrightarrow b=15\)

 Vậy có tất cả các cặp số \(a,b\) thỏa mãn đề bài là 1 và 14; 2 và 7; 3 và 12; 5 và 10; 0 và 15.

 Khi ta xóa 2 số bất kì và viết lại tổng của chúng thì một điều rõ ràng là tổng của các số trên bảng không đổi. Bằng lập luận này, \(k=1+2+...+99\)

 \(k=\dfrac{99.\left(99+1\right)}{2}\)

 \(k=4950\)

 Ta thấy \(70^2=4900< 4950< 5041=71^2\) nên \(k=4950\) không phải là SCP.

 Xét 2024 số: \(3^1-1,3^2-1,...,3^{2024}-1\). Một số khi chia cho 2023 có 2023 số dư là 0, 1, 2,..., 2022. Do đó, theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 số \(3^i-1\) và \(3^j-1\) có cùng số dư khi chia cho 2023. 

 Không mất tính tổng quát, giả sử rằng \(1\le i< j\le2024\). Khi đó \(\left(3^j-1\right)-\left(3^i-1\right)⋮2023\)

 \(\Leftrightarrow3^j-3^i⋮2023\)

 \(\Leftrightarrow3^i\left(3^{j-i}-1\right)⋮2023\)

Vì \(ƯCLN\left(3^i,2023\right)=1\) nên từ đây suy ra \(3^{j-i}-1⋮2023\)

Vậy, tồn tại số nguyên dương \(j-i\) mà \(3^{j-i}-1⋮2023\), ta có đpcm.

a) Kẻ tiếp tuyến Mx của (O). Khi đó \(Mx\perp MO\).

Ta thấy \(\widehat{xMA}=\widehat{MBA}=\widehat{MFE}\) nên Mx // EF. Do đó \(EF\perp MO\)

Mặt khác, tam giác HAC cân tại H có đường cao HF nên F là trung điểm MC. Tương tự, E là trung điểm MD. Vì vậy, EF là đường trung bình của tam giác MCD \(\Rightarrow\) EF//CD. 

 Do đó, \(MO\perp CD\) \(\Rightarrow\) đt qua M vuông góc với CD đi qua O cố định.

 b) Gọi O' là điểm đối xứng của O qua AB. Kẻ đường kính MK của (O), gọi P là trung điểm AB. Lúc này O' là điểm cố định.

 Khi đó AH//BK (cùng vuông góc với MB) và BH//AK (cùng vuông góc với MA) nên tứ giác AHBK là hình bình hành

 \(\Rightarrow\) Trung điểm P của AB cũng là trung điểm của HK. 

 \(\Rightarrow\) OP là đường trung bình của tam giác KMH 

 \(\Rightarrow\) OP//MH và \(OP=\dfrac{1}{2}MH\)

 \(\Rightarrow\) OO'//MH và \(OO'=MH\)

 \(\Rightarrow\) Tứ giác MOO'H là hình bình hành 

 \(\Rightarrow\) HO' // MO

 Mà \(MO\perp CD\) (cmt) nên \(HO'\perp CD\)

 Như vậy đường thẳng qua H và vuông góc với CD đi qua O' cố định.

 Mình gửi trả lời rồi đó mà nó chưa duyệt lên. Bạn vào trang cá nhân của mình xem nhé. 

c) Gọi J là trung điểm OH. Vẽ đường tròn đường kính OH. Khi đó vì \(\widehat{ODH}=90^o\) nên \(D\in\left(J\right)\). Vẽ đường tròn (BC)

 Xét tam giác AEH và ADC, ta có: \(\widehat{AEH}=\widehat{ADC}=90^o\) và \(\widehat{HAC}\) chung \(\Rightarrow\Delta AEH\sim\Delta ADC\) 

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AC}\) 

\(\Rightarrow AE.AC=AD.AH\)

\(\Rightarrow P_{A/\left(O\right)}=P_{A/\left(J\right)}\)

\(\Rightarrow\) A nằm trên trục đẳng phương của (O) và (J).

Mặt khác, trong đường tròn (O), ta có: \(\widehat{FOE}=2\widehat{FCE}=\widehat{HCE}+\widehat{HBF}\) \(=\widehat{HDE}+\widehat{HDF}=\widehat{FDE}\) nên tứ FDOE nội tiếp.

 \(\Rightarrow\widehat{FOD}=\widehat{FED}\)

 Xét tam giác MDE và MFO, ta có:

 \(\widehat{MED}=\widehat{MOF},\widehat{EMO}\) chung 

 \(\Rightarrow\Delta MDE\sim\Delta MFO\left(g.g\right)\)

 \(\Rightarrow\dfrac{MD}{MF}=\dfrac{ME}{MO}\)

 \(\Rightarrow MD.MO=MF.ME\)

 \(\Rightarrow P_{M/\left(J\right)}=P_{M/\left(O\right)}\)

 \(\Rightarrow\) M thuộc trục đẳng phương của (J) và (O)

Do đó AM là trục đẳng phương của (O) và (J) \(\Rightarrow AM\perp OJ\) hay \(AM\perp OH\) 

 Lại có \(AH\perp OM\) nên H là trực tâm tam giác AOM \(\Rightarrow MH\perp AO\) (đpcm)

Bạn vào trang cá nhân của mình xem trả lời nhé.