Tam giác ACE đều \(\Rightarrow AE=AC\) và \(\widehat{CAE}=60^o\)

Tam giác ABC vuông cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\) và \(\widehat{BAC}=90^o\)

Từ đó \(\Rightarrow AE=AB\) \(\Rightarrow\Delta ABE\) cân tại A

Đồng thời \(\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=90^o+60^o=150^o\)

 \(\Rightarrow\widehat{ABE}=\dfrac{180^o-\widehat{BAE}}{2}=\dfrac{180^o-150^o}{2}=15^o\)

Mặt khác, tam giác ADB cân tại và \(\widehat{ADB}=150^o\) nên tam giác ADB chí có thể cân tại D (vì nếu cân tại điểm khác thì khi đó trong tam giác ADB sẽ có 2 góc bằng \(150^o\), vô lý). Khi đó \(\widehat{ABD}=15^o\)

 Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia BA, có \(\widehat{ABD}=\widehat{ABE}=15^o\) nên B, D, E thẳng hàng. (đpcm)

Mỗi kí tự có 10 cách chọn số, 26 cách chọn chữ in hoa và 26 cách chọn chữ in thường. Do đó mỗi kí tự có \(10+2.26=62\) cách chọn. Khi đó số mật khẩu có thể là \(62^{10}\) 

Trong trường hợp xấu nhất, kẻ gian sẽ mất \(62^{10}\) giây, để cho gọn hơn thì là \(62^{10}:60:60:24:365:100=266140083\) thể kỷ

 P/S: Đó là khi kẻ gian không chết trước khi phá được mật khẩu.

c) Xét pt \(x^3-3mx^2+\left(3m-1\right)x+6m=0\)   (*)

Ta thấy (*) có nghiệm \(x=-1\). Lập sơ đồ Horner:

Vậy (*) \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2-\left(3m+1\right)x+6m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2-\left(3m+1\right)x+6m=0\end{matrix}\right.\)

Tới đây thì làm tương tự câu b) nhé.

b) Xét pt hoành độ giao điểm của hàm số đã cho và Ox là \(2x^3+2\left(6m-1\right)x^2-3\left(2m-1\right)x-3\left(1+2m\right)=0\)    (*)

Ta thấy \(x=1\) là nghiệm của pt trên. Lập sơ đồ Horner:

Do đó pt (*) 

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2+12mx+6m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\2x^2+12mx+6m+3=0\end{matrix}\right.\)

 Xét pt \(2x^2+12mx+6m+3=0\)      (1)

 Ycbt \(\Leftrightarrow\) pt (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) khác 1 và thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=27\)

 Có \(\Delta'=\left(6m\right)^2-2\left(6m+3\right)=36m^2-12m-6>0\) 

 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\dfrac{1+\sqrt{7}}{6}\\m< \dfrac{1-\sqrt{7}}{6}\end{matrix}\right.\)

Có 2 nghiệm khác 1 \(\Leftrightarrow2.1^2+12m.1+6m+3\ne0\) 

\(\Leftrightarrow18m+5\ne0\)

\(\Leftrightarrow m\ne-\dfrac{5}{18}\)

Theo định lý Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-6m\\x_1x_2=\dfrac{6m+3}{2}\end{matrix}\right.\)

Để \(x_1^2+x_2^2=27\) 

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=27\)

\(\Leftrightarrow\left(-6m\right)^2-2.\dfrac{6m+3}{2}=27\)

\(\Leftrightarrow36m^2-6m-3=27\)

\(\Leftrightarrow6m^2-m-5=0\)

\(\Leftrightarrow6m^2-6m+5m-5=0\)

\(\Leftrightarrow6m\left(m-1\right)+5\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(6m+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(nhận\right)\\m=-\dfrac{5}{6}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1\) hoặc \(m=-\dfrac{5}{6}\) thỏa ycbt.

 Thưa cô Tuyết Ngọc, em muốn đăng hình nhưng mà nếu câu trả lời nào có hình thì nó sẽ không duyệt lên ngay mà phải chờ tới ít nhất là 1 ngày sau mới hiện lên nên em mới làm bải giải riêng với vẽ hình riêng ạ.

Xét đa thức \(P\left(x\right)=x^4+6x^3-11x^2+6x+1\)

Giả sử P(x) có nghiệm hữu tỉ \(x=\dfrac{p}{q}\left(p,q\inℤ,\left(p,q\right)=1\right)\) thì \(q,p|1\)

\(\Rightarrow\left(p,q\right)=\left(1,-1\right),\left(-1,1\right),\left(1,1\right),\left(-1,-1\right)\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{p}{q}=\pm1\).

 Thử lại, ta thấy \(P\left(\pm1\right)\ne0\) nên P(x) không có nghiệm hữu tỉ. Do đó P(x) không thể phân tích được thành tích của 1 đa thức bậc nhất và 1 đa thức bậc 3.

 Khi đó đặt \(P\left(x\right)=\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)\) với 

 \(\Rightarrow P\left(x\right)=x^4+cx^3+dx^2+ax^3+acx^2+adx+bx^2+bcx+bd\)

 \(\Rightarrow P\left(x\right)=x^4+\left(a+c\right)x^3+\left(b+d+ac\right)x^2+\left(ad+bc\right)x+bd\)

 Đồng nhất hệ số, thu được:

 \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=6\\b+d+ac=-11\\ad+bc=6\\bd=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b=d=\pm1\)

Nếu \(b=d=1\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=6\\2+ac=-11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+c=6\\ac=-13\end{matrix}\right.\).

Khi đó \(a,c\) là 2 nghiệm của pt \(x^2-6x-13=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3+\sqrt{22}\\c=3-\sqrt{22}\end{matrix}\right.\) (loại)

Nếu \(b=d=-1\) thì \(-6=a+c=6\), vô lý.

Nên đa thức đã cho không thể phân tích được thành nhân tử nhé.

 À câu a) ý 2 do điểm P có ở câu b) rồi nên mình sửa lại trung điểm của BC là V nhé. Chỗ nào mà có chữ P sửa lại thành chữ V giúp mình nhé.