\(a^3⋮b\Rightarrow a^3=bx\left(x\inℤ\right)\). Tương tự, đặt \(b^3=ay\left(y\inℤ\right)\)

Khi đó \(a^4+b^4=a.a^3+b.b^3=a.bx+b.ay=ab\left(x+y\right)⋮ab\)

Ta có đpcm.

\(x+8⋮6,y+2012⋮6\)

\(\Rightarrow x,y⋮2\) và \(x,y\) chia 3 dư 1.

Vì \(x,y⋮2\) và \(4^x⋮2\) nên \(4^x+x+y⋮2\)

Vì 4 chia 3 dư 1 nên \(4^x\) chia 3 dư 1. Lại có \(x,y\) chia 3 dư 1 nên \(4^x+x+y⋮3\)

Từ đó suy ra \(4^x+x+y⋮6\)

Đặt \(y=f\left(x\right)=ax^2\)

Chọn \(x=x_0\inℝ\) bất kỳ. Gọi \(\Delta x\) là số gia của biến \(x\)

Khi đó \(\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\) 

\(=a\left(x_0+\Delta x\right)^2-ax_0^2\)

\(=ax_0^2+2ax_0\Delta x+\left(\Delta x\right)^2-ax_0^2\)

\(=2ax_0\Delta x+\left(\Delta x\right)^2\)

Do đó \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{2ax_0\Delta x+\left(\Delta x\right)^2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\left(2ax_0+\Delta x\right)\) \(=2ax_0\)

Như vậy, \(\left(ax^2\right)'=2ax\) với a là hằng số.

1) Giả sử \(\Delta ABC\sim\Delta XYZ\)  và giả sử cạnh tương ứng bằng nhau là \(AB=YZ\)

 Do \(\Delta ABC\sim\Delta XYZ\)  nên \(\widehat{CAB}=\widehat{ZXY};\widehat{CBA}=\widehat{ZYX}\) 

 Do vậy, \(\Delta ABC=\Delta XYZ\left(g.c.g\right)\)

2) Xét \(n⋮3\Rightarrow n^2⋮3\Rightarrow n^2+1⋮̸3\)

Xét \(n=3k+1\left(k\inℕ\right)\) thì 

\(n^2+1=\left(3k+1\right)^2+1=9k^2+6k+2⋮̸3\)

Xét \(n=3k+2\) thì

\(n^2+1=\left(3k+2\right)^2+1=9k^2+12k+5⋮̸3\)

Vậy \(n^2+1⋮̸3\) với mọi \(n\inℕ\)

Không hiểu chỗ nào vậy bạn?

Gọi \(k\) là số chữ số của \(n\). Khi đó đặt 

\(n=\overline{a_0a_1a_2...a_{k-1}}=10^{k-1}a_0+10^{k-2}a_1+...+10^1a_{k-2}+10^0a_{k-1}\) và \(a_0\ne0\)

Có \(n+S\left(n\right)=2014\)

\(\Rightarrow\left(10^{k-1}+1\right)a_0+\left(10^{k-2}+1\right)a_1+...+\left(10^1+1\right)a_{k-2}+\left(10^0+1\right)a_{k-1}=2014\) (1)

Khi đó vì \(a_i\ge0\) với mọi \(i=1,2,...,k-1\) và \(a_0\ge1\) nên từ (1) có:

\(10^{k-1}+1\le2014\Leftrightarrow k\le4\)    (2)

Mặt khác \(a_j\le9\) với mọi \(j=0,1,2,...,k-1\) nên 

\(9\left(10^{k-1}+1+10^{k-2}+1+...+10^0+1\right)\ge2014\)

\(\Leftrightarrow10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^0+k\ge224\)    (3)

Đặt \(S=10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^0\)

\(\Rightarrow10S=10^k+10^{k-1}+...+10^1\)

\(\Rightarrow10S-S=9S=10^k-1\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{10^k-1}{9}\)

Như vậy, từ (3) ta có \(\dfrac{10^k-1}{9}+k\ge224\)

\(\Rightarrow k\ge4\)    (4)

Từ (2) và (4) ta có \(k=4\), hay \(n\) có 4 chữ số

Khi đó gọi \(n=\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\)

\(\Rightarrow n+S\left(n\right)=1001a+101b+11c+2d=2014\)

\(\Rightarrow1001a< 2014\Rightarrow a\le2\)

Xét \(a=2\) thì ta có \(101b+11c+2d=12\), vô lý.

Với \(a=1\), ta có \(1\le S\left(n\right)\le36\Rightarrow1978\le n=2014-S\left(n\right)\le2013\)

\(\Rightarrow1978\le n\le1999\)

Do đó \(a=1,b=9,c\in\left\{7,8,9\right\}\)

\(\Rightarrow n+S\left(n\right)=1001+909+11c+2d=2014\Leftrightarrow11c+2d=104\)

Vì 112 và \(2d\) đều là số chẵn nên \(c\) chẵn \(\Rightarrow c=8\)

\(\Rightarrow d=8\)

Vậy \(n=1988\) là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn ycbt.

 Xét hệ trục tọa độ Oxy có \(Ox\equiv d\), O là hình chiếu của A trên d và A, B nằm phía trên trục hoành và không mất tính tổng quát, giả sử B nằm bên phải trục tung. Khi đó \(A\left(0;a\right),B\left(b;c\right)\) với \(a,b,c>0\)

Vì \(\overrightarrow{EF}\) không đổi nên \(E\left(i;0\right),F\left(i+k;0\right)\) với \(k=const\) (tức là \(EF=k\)).

\(\Rightarrow AE+BF=\sqrt{i^2+a^2}+\sqrt{\left(i+k-b\right)^2+c^2}\)

\(=\sqrt{i^2+a^2}+\sqrt{\left(b-k-i\right)^2+c^2}=P\)

Lấy \(\overrightarrow{u}=\left(i;a\right);\overrightarrow{v}=\left(b-k-i;c\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(b-k;a+c\right)\)

\(P=\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|\ge\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\left(b-k\right)^2+\left(a+c\right)^2}=const\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\overrightarrow{u}\uparrow\uparrow\overrightarrow{v}\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{i}{b-k-i}=\dfrac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow ci=ab-ak-ai\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)i=ab-ak\)

\(\Leftrightarrow i=\dfrac{ab-ak}{a+c}\) \(\Rightarrow E\left(\dfrac{ab-ak}{a+c};0\right),F\left(\dfrac{ab+ck}{a+c};0\right)\)

Vậy ...