a) Xét tứ giác ADME có

góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ

=>ADME là hình chữ nhật

b) Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

=>D là trung điểm của AB

Xét tứ giác AMBI có

D là trung điểm chung của AB và MI

=>AMBI là hình bình hành

d)

mà MA=MB

nên AMBI là hình thoi

c) AMBI là hình vuông

=>góc AMB=90 độ

Xét ΔABC có

AM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔABC cân tại A

=>AB=AC

d)

Vì APHQ là hình chữ nhật, A, P, H, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Xét ∠AQP, Ta có:

∠AQP=∠AHP

Trong △APH vuông tại P, ∠AHP=90∘−∠PAH. Mà ∠PAH=∠BAH=∠C.

Vậy ∠AHP=90∘−∠C=∠B

=> ∠AQP=∠B.

Xét △AKQ:

∠KQA=∠AQP=∠B

∠QAK=∠CAM=∠C

Tổng ba góc trong △AKQ:

∠AKQ=180∘−(∠KQA+∠QAK) ∠AKQ=180∘−(∠B+∠C)

Vì △ABC vuông tại A, ∠B+∠C=90∘.

Vậy ∠AKQ=180∘−90∘=90∘.

Do ∠AKQ=90∘, điều này chứng tỏ PQ ⊥ AM.

a) Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên ABCD là hình bình hành.

Do đó AD // BC.

Ta có AP⊥BC;  AD // BC suy ra AP⊥AD hay ^PAQ=90°.

Vì AP⊥BC ,  CQ⊥AD  nên ^APC=90°;  ^AQC=90°.

Tứ giác APCQ có ^PAQ=90°; ^APC=90°;  ^AQC=90° nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo AC, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ.

b: Xét tứ giác APCQ có

AP//CQ

AQ//CP

=>APCQ là hình bình hành

=>AC cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường

=>P, N, Q thẳng hàng

c) Theo câu a, ABCD là hình bình hành, nên để ABCD là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện AB⊥BC,  AB=BC hay ΔABC vuông cân tại B

Vậy để tứ giác ABCD là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại B.

a: Xét tứ giác MCDN có

MC//DN

MC=DN

MC=CD

=>MCDN là hình thoi

b: Xét ΔCMD có CM=CD và góc C=60 độ(=góc BAD)

nên ΔCMD đều

=>góc CMD=60 độ

góc BMD+góc CMD=180 độ(kề bù)

=>góc BMD=180-60=120 độ

=>góc BMD=góc B

Xét tứ giác ABMD có

BM//AD

góc ABM=góc BMD

=>ABMD là hình thang cân

=>AM=BD

c: Xét ΔKAD có BM//AD

nên BM/AD=KM/KD=KB/KA

=>KM/KD=KB/KA=1/2

=>Mlà trung điểm của KD, B là trung điểm của KA

Xét ΔKAD có

AM,DB,KN là trung tuyến

=>AM,DB,KN đồng quy

a.Vì ABCD là hình vuông

→AC⊥BD=O

là trung điểm mỗi đường, OA=OB=OC=OD

Xét ΔAOP, ΔBOR có:

ˆOAP=45o=ˆOBR

OA=OB

ˆAOP=90o−ˆBOP=ˆBOR

→ΔOAP=ΔOBR(g.c.g)

b.Từ a →OP=OR

Tương tự chứng minh được OP=OS,OS=OQ

→OR=OP=OS=OQ

c. Từ b →O là trung điểm RS,PQ

→RS⊥PQ=O là trung điểm mỗi đường

→PRQS là hình vuông  

Bài thơ "Bạn Đến Chơi Nhà" của Nguyễn Khuyến không chỉ là một người thơ Nôm trào phúng kinh điển mà còn là một tác phẩm chứa đựng những giá trị sâu sắc về tình bạn và lối sống thanh đạm của nhà thơ. Bằng một giọng điệu hóm hỉnh, tự nhiên cùng với nghệ thuật sử dụng từ ngữ tài tình, Nguyễn Khuyến đã vẽ nên một bức tranh chân thực và cảm động về cuộc sống thôn quê cũng như tình cảm chân thành giữa những người bạn tri kỷ.

Nội dung chính của bài thơ xoay quanh cuộc gặp gỡ giữa nhà thơ và một người bạn cũ. Ngay từ những câu thơ đầu, Nguyễn Khuyến đã tạo ra một tình huống dở khóc dở cười khi bạn đến chơi nhà nhưng gia đình lại vắng vẻ, thiếu thốn đủ mọi thứ: "Trẻ thời đi vắng, chợ thời xa." Cụ thể hơn, cái thiếu thốn được thể hiện qua hàng loạt hình ảnh cụ thể, gần gũi với đời sống nông thôn: từ việc không có cá để đãi vì "Ao sâu nước cả, khôn chài cá", đến không có gà để làm thịt do "Vườn rộng rào thưa, khó đuổi gà". Thậm chí, ngay cả những thức rau dân dã nhất cũng không có sẵn: "Cải chửa ra cây, cà mới nụ, Bầu vừa rụng rốn, mướp đương hoa." Đỉnh điểm của sự thiếu thốn là "trầu không có" – một thứ tưởng chừng như không thể thiếu trong tục tiếp khách của người Việt.

Tuy nhiên, chính trong cái hoàn cảnh thiếu thốn tưởng chừng như trớ trêu ấy, ý nghĩa sâu sắc của bài thơ mới thực sự được bộc lộ. Câu thơ cuối cùng "Bác đến chơi đây, ta với ta" chính là điểm nhấn, là nơi thăng hoa của tình bạn. Nó khẳng định rằng, đối với Nguyễn Khuyến, giá trị của cuộc gặp gỡ không nằm ở mâm cao cỗ đầy, ở những lễ nghi hình thức mà ở sự hiện diện của người bạn, ở sự sẻ chia, đồng điệu về tâm hồn. Tình bạn chân thành đã vượt lên trên mọi ràng buộc vật chất, mọi thiếu thốn bề ngoài để trở thành điểm tựa vững chắc, là niềm an ủi lớn lao. Điều này không chỉ thể hiện một tấm lòng hiếu khách đặc biệt mà còn khẳng định một triết lý sống giản dị, thanh cao của nhà thơ.

Bài thơ sử dụng ngôn ngữ mộc mạc, gần gũi với lời ăn tiếng nói hằng ngày của người Việt, tạo cảm giác thân mật, tự nhiên. Giọng điệu chủ đạo là hài hước, dí dỏm, pha chút tự trào, khiến người đọc không khỏi bật cười trước tình cảnh éo le của nhà thơ. Sự hóm hỉnh này không chỉ làm giảm đi sự nặng nề của hoàn cảnh thiếu thốn mà còn làm nổi bật hơn tình cảm chân thành, không vụ lợi.

Kết cấu bài thơ chặt chẽ, mạch lạc. Sáu câu thơ đầu tiên là lời trần tình, liệt kê những thứ không có, tạo nên một chuỗi các hình ảnh thiếu thốn liên hoàn. Đặc biệt, nghệ thuật đối được sử dụng một cách nhuần nhuyễn, tài tình: "Ao sâu nước cả" đối với "Vườn rộng rào thưa", "Cải chửa ra cây" đối với "cà mới nụ", "Bầu vừa rụng rốn" đối với "mướp đương hoa". Các cặp đối này không chỉ tạo nên nhịp điệu hài hòa cho bài thơ mà còn nhấn mạnh, khắc họa rõ nét hơn sự vắng vẻ, thiếu thốn. Việc liệt kê các loại cây trái, con vật quen thuộc trong vườn tược nông thôn cũng góp phần vẽ nên một bức tranh chân thực về cuộc sống nơi làng quê.

Điệp ngữ "chửa", "mới", "vừa", "đương" ở các câu 5, 6 nhấn mạnh sự non nớt, chưa đến độ thu hoạch của cây trái, càng làm tăng thêm sự "khó khăn" trong việc đãi khách. Câu thơ cuối cùng "Bác đến chơi đây, ta với ta" là một câu thơ đặc sắc, thể hiện sự khái quát hóa cao độ. Cụm từ "ta với ta" đầy ẩn ý, có thể hiểu là chỉ còn lại hai người bạn, không cần những thứ vật chất phù phi du, chỉ cần sự hiện diện của nhau. Nó cũng có thể ngầm chỉ sự đồng điệu tuyệt đối về tâm hồn, sự thấu hiểu sâu sắc giữa hai người bạn. Đây chính là nét độc đáo làm nên giá trị vượt thời gian của bài thơ.

"Bạn Đến Chơi Nhà" của Nguyễn Khuyến là một bài thơ xuất sắc cả về nội dung lẫn hình thức nghệ thuật. Bằng sự kết hợp hài hòa giữa chất hiện thực và chất trào phúng, giữa sự giản dị trong ngôn ngữ và sự tinh tế trong cách biểu đạt, Nguyễn Khuyến đã mang đến cho người đọc một bức thông điệp ý nghĩa về tình bạn đích thực, về một lối sống thanh cao, không màng danh lợi, vật chất. Bài thơ không chỉ là tiếng cười mua vui mà còn là lời nhắc nhở nhẹ nhàng về những giá trị cốt lõi trong cuộc sống và trong mối quan hệ giữa người với người.

Việc sống hòa hợp với thiên nhiên có ý nghĩa lớn lao. Chúng ta phải nhớ rằng chúng ta là một phần của tự nhiên và phụ thuộc vào nó để tồn tại. Sự tôn trọng và bảo vệ môi trường tức là chúng ta đang bảo vệ cuộc sống của chính mình. Chúng ta cần giảm thiểu tác động của mình đối với hành tinh, bảo vệ đất đai, không khí và nước, để đảm bảo một tương lai bền vững cho thế hệ tương lai. Sống hòa hợp với thiên nhiên cũng giúp chúng ta có cơ hội tận hưởng vẻ đẹp tự nhiên và tạo ra một môi trường sống lành mạnh cho tất cả các loài trên trái đất. Nếu không sống hòa hợp với thiên nhiên, sức khỏe thể chất và tinh thần của con người đều sẽ bị ảnh hưởng. Do đó, hãy có lối sống chan hòa và kết nối cùng thiên nhiên để có những khoảnh khắc đẹp trong đời. 

Bức tranh thiên nhiên trong bài thơ "Chiều xuân ở thôn Trừng Mại" không chỉ là một bức tranh phong cảnh đẹp mà còn là một bức tranh tâm trạng, thể hiện sự yêu mến, gắn bó của tác giả với quê hương, với vẻ đẹp bình dị, thanh khiết của mùa xuân làng quê. Bức tranh mang đến cho người đọc cảm giác thư thái, bình yên và gợi lên những rung động tinh tế trước vẻ đẹp của thiên nhiên. Bức tranh thiên nhiên không có những gam màu tươi sáng, rực rỡ mà chủ yếu là những gam màu nhẹ nhàng, tinh tế như màu "xanh biếc" của cây cỏ, màu "xám" của mây, màu "hồng" của ánh nắng chiều. Tiếng "chim" kêu, "gió" thổi, "tiếng ai hò" tạo nên một bức tranh âm thanh đa dạng, làm cho không gian thêm phần sinh động, nhưng vẫn giữ được sự yên bình, thanh tao. Bức tranh mở ra với không gian làng quê thanh bình, yên ả, không có sự ồn ào, náo nhiệt thường thấy của phố thị. Hình ảnh "mưa phùn" và "mây" gợi cảm giác nhẹ nhàng, thơ mộng, bao phủ cả không gian thôn xóm. Thời điểm chiều xuân được miêu tả cụ thể qua các chi tiết như "xâm xẩm mây", "phân phất mưa phùn", "cánh én", "chim bay", "mặt trời". Những hình ảnh này cho thấy sự vận động nhẹ nhàng, êm đềm của thời gian, tạo nên một không gian tĩnh lặng, thư thái.

a) Do MN ⊥ DE tại N, MK ⊥ DF tại K nên ˆMND=90° và ˆMKD=90°

Tứ giác DKMN có ˆKDN=90°; ˆMKD=90°; ˆMND=90° nên DKMN là hình chữ nhật.

b) ∆DEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

MD=1/2EF=ME.

Suy ra ∆MDE cân tại M.

Ta lại có MN ⊥ DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆MDE, suy ra ND=NE=DE^2.

Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).

Suy ra DHEM là hình bình hành.

Do đó DH // ME và DH = ME.

Mà M là trung điểm EF nên ME = MF

Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.

Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.

Vậy H, O, F thẳng hàng.

c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của ˆKDN

, hay DM là đường phân giác của KMN.

Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ∆DEF

Do đó ∆DEF cân tại D

Suy ra ∆DEF vuông cân tại D.

Vậy ∆DEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.

a) Vì ��=2��AB=2BC suy ra ��=��2=��BC= AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 độ

Tương tự góc ICK = 45 độ

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 độ nên là tam gaic vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic  vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt  nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuông