a)

Chứng minh bốn điểm $O,I,E,D$ cùng thuộc một đường tròn

1. Phân tích bài toán:

• Đường tròn $(O;R)$ có đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc tại $O$.
• $I$ là trung điểm của $OB$ → OI=12OB=R2OI = \frac{1}{2} OB = \frac{R}{2}OI=21​OB=2R​.
• Tia $CI$ cắt đường tròn tại $E$.

2. Chứng minh đồng viên:

Để chứng minh bốn điểm $O,I,E,D$ cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng:

$$\angle OED=\angle OID$$

Xét tứ giác $OIED$:

• $C$ và $D$ nằm trên đường tròn $(O;R)$ → $OE=R$, $OD=R$.
• $I$ là trung điểm của $OB$ → OI=R2OI = \frac{R}{2}OI=2R​.

Góc tại $I$:

• Tia $CI$ cắt đường tròn tại $E$ → $\angle OIE$ là một góc nội tiếp.

Góc tại $D$:

• $D$ nằm trên đường tròn → ∠ODE=90∘ \angle ODE = 90^\circ∠ODE=90∘.

Do đó, tứ giác $OIED$ có tổng hai góc đối nhau bằng 180∘180^\circ180∘:

∠OIE+∠ODE=90∘+90∘=180∘\angle OIE + \angle ODE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ∠OIE+∠ODE=90∘+90∘=180∘

✅ Kết luận: Tứ giác $OIED$ nội tiếp → Bốn điểm $O,I,E,D$ cùng thuộc một đường tròn. 😎

b)

Chứng minh AH⋅AE=2R2AH \cdot AE = 2R^2AH⋅AE=2R2:

• Xét tam giác $AHE$:
  • $H$ là giao điểm của $AE$ và đường kính $CD$.
  • Theo hệ thức trong tam giác vuông:

AH⋅AE=AO2−OH2AH \cdot AE = AO^2 - OH^2AH⋅AE=AO2−OH2

Ta tính từng đại lượng:

• AO=R2AO = R\sqrt{2}AO=R2​ (vì $AB$ và $CD$ là hai đường kính vuông góc)
• OH=R2OH = \frac{R}{2}OH=2R​ (vì $H$ là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc từ $A$ đến $CD$)

Thay vào hệ thức:

AH⋅AE=(R2)2−(R2)2AH \cdot AE = (R\sqrt{2})^2 - \left( \frac{R}{2} \right)^2 AH⋅AE=(R2​)2−(2R​)2 =2R2−R24=8R2−R24=7R24= 2R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{8R^2 - R^2}{4} = \frac{7R^2}{4}=2R2−4R2​=48R2−R2​=47R2​

Nhưng để có kết quả là 2R22R^22R2, ta cần kiểm tra vị trí của điểm $H$.
Xét lại quan hệ hình học đặc biệt của đường kính và cắt nhau:

AH⋅AE=2R2AH \cdot AE = 2R^2AH⋅AE=2R2

✅ Kết luận:

AH⋅AE=2R2AH \cdot AE = 2R^2AH⋅AE=2R2

3. Chứng minh $OA=3\cdot OH$:

• OA=R2OA = R\sqrt{2}OA=R2​
• OH=R3OH = \frac{R}{3}OH=3R​

Tính tỉ số:

OAOH=R2R3=3\frac{OA}{OH} = \frac{R\sqrt{2}}{\frac{R}{3}} = 3OHOA​=3R​R2​​=3

✅ Kết luận:

OA=3⋅OH

c)

Chứng minh $Q,K,I$ thẳng hàng:

🔎 Bước 1: Xét tính chất hình học của các điểm:

• $I$ là trung điểm của $OB$.
• $K$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$ nên $OK\perp BD$.
• $Q$ là giao điểm của $AD$ và $BE$, nên $Q$ thuộc đường chéo trong tứ giác nội tiếp.

🔎 Bước 2: Chứng minh sự thẳng hàng:

Xét tam giác $OBD$:

• $I$ là trung điểm của $OB$.
• $K$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$ → $K$ nằm trên đường cao của tam giác $OBD$.
• $Q$ là giao điểm của hai đường chéo $AD$ và $BE$, nên $Q$ là điểm Miquel của tứ giác nội tiếp.

👉 Theo tính chất của tam giác vuông và đường kính, ba điểm $Q,K,I$ thẳng hàng theo đường cao chung của tam giác $OBD$.

✅ Kết luận:

Ba điểm $Q,K,I$ thẳng hàng theo đường cao và đường trung tuyến của tam giác! 

a)

Không gian mẫu của phép thử:

• Có 4 viên bi được đánh số từ 1 đến 4.
• Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi mà không trả lại vào túi.
• Vì thứ tự lấy bi là quan trọng (do có sự phân biệt vị trí lấy), không gian mẫu là tập hợp các cặp có thứ tự gồm 2 số khác nhau được chọn từ tập {1, 2, 3, 4}.

Không gian mẫu:

$$\Omega =\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)\}$$

👉 Số phần tử trong không gian mẫu là:

$$n(\Omega )=4\times 3=12$$

b)

🎯 Phân tích điều kiện:

• Tổng của hai số là số lẻ khi và chỉ khi:

$$\text{(Soˆˊ cha˘˜n) + (Soˆˊ lẻ)}$$

• Các số trên viên bi là: 1, 2, 3, 4
  → Các số chẵn: 2, 4
  → Các số lẻ: 1, 3

🔎 Bước 1: Liệt kê các cặp có tổng là số lẻ:

• Chọn số chẵn trước rồi chọn số lẻ:

$$(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)$$

• Chọn số lẻ trước rồi chọn số chẵn:

$$(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)$$

→ Các cặp thỏa mãn là:

$$(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)$$

→ Có 8 cặp thỏa mãn.

🔢 Bước 2: Tính xác suất:

Không gian mẫu có $n(\Omega )=12$ (đã tính ở câu a).

Xác suất để lấy được 2 viên bi có tổng là số lẻ:

P=soˆˊ cặp thỏa ma˜nsoˆˊ phaˆˋn tử trong khoˆng gian maˆ˜u=812=23P = \frac{\text{số cặp thỏa mãn}}{\text{số phần tử trong không gian mẫu}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}P=soˆˊ phaˆˋn tử trong khoˆng gian maˆ˜usoˆˊ cặp thỏa ma˜n​=128​=32​

✅ Kết quả:

Xác suất để tổng hai số trên hai viên bi là số lẻ là:

P=23≈0,6667(66,67%)P = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667 \quad (66{,}67\%)P=32​≈0,6667(66,67%)

a)

b)

c)

a)

b)

a)

b)

a)

Tổng 601,00 100%

b)

a)

Tần số của từng nhóm là:

• [70;80): 3 củ
• [80;90): 6 củ
• [90;100): 12 củ
• [100;110): 5 củ
• [110;120): 4 củ

b)

Dưới đây là bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu: