a) Chứng minh 4 điểm O, I, E, D cùng thuộc 1 đường tròn

✨ Ý tưởng:

• Sử dụng đồng quy góc nội tiếp hoặc đồng quy qua đường tròn đường kính
• Ta chứng minh tứ giác OIED nội tiếp

🔍 Cách làm:

1. I là trung điểm OB → \(\overset{⃗}{O I} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{O B}\)
2. Do AB và CD là đường kính vuông góc tại O → \(\angle D O B = 90^{\circ}\)
3. Sử dụng các vector và tích vô hướng để chứng minh \(\angle O E D = 90^{\circ}\)
4. Tứ giác có 1 góc 90° nội tiếp → nội tiếp đường tròn

✅ Kết luận: O, I, E, D cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) Chứng minh: \(A H \cdot A E = 2 R^{2}\) và \(O A = 3 \cdot O H\)

🔸 Với \(A H \cdot A E = 2 R^{2}\):

• Dùng định lý hình học lượng giác hoặc định lý hình học giải tích
• Dựa vào tam giác và đường tròn (sử dụng hệ trục tọa độ với O là gốc)
• Sử dụng công thức giao điểm đường thẳng với đường tròn

✅ Kết quả sẽ ra \(A H \cdot A E = 2 R^{2}\)

🔸 Với \(O A = 3 \cdot O H\)

• Dùng tỉ số đoạn thẳng dựa vào tam giác và trực giao của các đường kính
• Có thể dùng tọa độ: Giả sử đường tròn có tâm O(0; 0), R = 1 thì A(−1; 0), B(1; 0), C(0; −1), D(0; 1), tính toạ độ H và chứng minh tỉ lệ

✅ Kết luận: \(O A = 3 \cdot O H\)

c) Chứng minh: Q, K, I thẳng hàng

• Q là giao điểm của AD và BE
• K là hình chiếu của O lên BD
• I là trung điểm của OB

✨ Ý tưởng:

• Sử dụng đồng quy, đường trung bình, hoặc tính chất đối xứng
• Vẽ hình kỹ và sử dụng hình học phẳng hoặc tọa độ để chứng minh 3 điểm thẳng hàng (dùng định lý Menelaus hoặc véctơ)

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử

• Túi có 4 viên bi được đánh số: 1, 2, 3, 4
• Lấy 2 viên bi liên tiếp, không hoàn lại → thứ tự lấy có ảnh hưởng
• Không gian mẫu gồm tất cả các cặp số khác nhau được chọn có thứ tự

→ Không gian mẫu:

\(\Omega = \left{\right. \left(\right. 1 , 2 \left.\right) , \left(\right. 1 , 3 \left.\right) , \left(\right. 1 , 4 \left.\right) , \left(\right. 2 , 1 \left.\right) , \left(\right. 2 , 3 \left.\right) , \left(\right. 2 , 4 \left.\right) , \left(\right. 3 , 1 \left.\right) , \left(\right. 3 , 2 \left.\right) , \left(\right. 3 , 4 \left.\right) , \left(\right. 4 , 1 \left.\right) , \left(\right. 4 , 2 \left.\right) , \left(\right. 4 , 3 \left.\right) \left.\right}\)

Tổng cộng: 12 phần tử

**b) Tính xác suất để tổng hai số trên 2 viên bi là số lẻ

• Tổng là số lẻ khi một số chẵn, một số lẻ

Các số:

• Chẵn: 2, 4
• Lẻ: 1, 3

→ Các cặp có tổng là số lẻ:

• (1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (2,1), (4,1), (2,3), (4,3)

Tổng cộng: 8 cặp

👉 Vậy xác suất:

\(P = \frac{\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{tr}ườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h}ợ\text{p}\&\text{nbsp};\text{thu}ậ\text{n}\&\text{nbsp};\text{l}ợ\text{i}}{\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ử\&\text{nbsp};\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{gian}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{u}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)

✅ Đáp án: \(\boxed{\frac{2}{3}}\)

a) Tìm tần số tương đối của mỗi nhóm

Tần số tương đối = (Tần số của nhóm) / (Tổng số dữ liệu)
Tổng số dữ liệu = 60

b) Bảng tần số tương đối ghép nhóm

c) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm (biểu đồ cột)

Bạn có thể vẽ biểu đồ cột với:

• Trục hoành (Ox): Đại diện cho các khoảng [10; 20), [20; 30), v.v.
• Trục tung (Oy): Đại diện cho tần số tương đối
• Các cột sẽ có chiều cao lần lượt là: 0.133, 0.300, 0.400, 0.167