con tàu

20!

−94​⋅x=7−2​:214​

Nowadays, leisure activities are totally different from the past. Many people no longer enjoy (1) taking part in outdoor activities after school. Instead, they (2) prefer playing computer games or (3) surfing the web in their free time. Some people (4) depend too much on computer and the Internet. For example, ...

25523883+x​+11441​

Hoặc có thể là một phép cộng các số như:

a)
3883 + x = 2552 + 1441

Ta thử giải theo hướng thứ hai:

\(3883 + x = 2552 + 1441 = 3993\)

Khi đó:

\(x = 3993 - 3883 = 110\)

👉 Đáp án: \(x = 110\) ✅

125

𝑥

=

125

x

125

​

=125

Nhân hai vế với

𝑥

x:

125

=

125

𝑥

125=125x

Chia hai vế cho 125:

𝑥

=

1

x=1

👉 Đáp án:

𝑥

=

1

x=1 ✅

ok

(O;R) là đường tròn tâm

𝑂

O, bán kính

𝑅

R.

𝐶

𝐷

CD là đường kính của

(

𝑂

)

(O),

𝐶

𝐷

=

2

𝑅

CD=2R.

𝑀

M là điểm thay đổi trên đoạn

𝑂

𝐶

OC.

(

𝑂

′

)

(O

′

) là đường tròn đường kính

𝑀

𝐷

MD.

𝐼

I là trung điểm của đoạn

𝑀

𝐶

MC.

Đường thẳng qua

𝐼

I vuông góc với

𝐶

𝐷

CD cắt

(

𝑂

)

(O) tại hai điểm

𝐸

E và

𝐹

F.

Đường thẳng

𝐸

𝐷

ED cắt

(

𝑂

′

)

(O

′

) tại điểm

𝑃

P.

a) Chứng minh ba điểm

𝑃

,

𝑀

,

𝐹

P,M,F thẳng hàng.

Phân tích và hướng dẫn:

Vì

𝐶

𝐷

CD là đường kính

(

𝑂

)

(O), nên

𝑂

O là trung điểm

𝐶

𝐷

CD.

𝑀

M nằm trên

𝑂

𝐶

OC, do đó

𝑀

M nằm trên đoạn

𝑂

𝐶

⊂

𝐶

𝐷

OC⊂CD.

𝐼

I là trung điểm

𝑀

𝐶

MC.

Đường thẳng qua

𝐼

I vuông góc với

𝐶

𝐷

CD cắt đường tròn

(

𝑂

)

(O) tại

𝐸

,

𝐹

E,F.

Ta cần chứng minh

𝑃

,

𝑀

,

𝐹

P,M,F thẳng hàng, trong đó

𝑃

P là giao điểm thứ hai của đường thẳng

𝐸

𝐷

ED với

(

𝑂

′

)

(O

′

).

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất về góc nội tiếp, định lý Menelaus hoặc Ceva, hoặc các phép biến đổi hình học.

Sử dụng các phép dựng hình và các quan hệ vuông góc, trung điểm để thiết lập tỷ lệ đoạn thẳng.

Bạn muốn mình giúp chứng minh chi tiết từng bước không?

b) Chứng minh

𝐼

𝑃

IP là tiếp tuyến của đường tròn

(

𝑂

;

𝑅

)

(O;R).

Phương pháp:

Chứng minh

𝐼

𝑃

IP vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

Hoặc dùng hệ thức về tiếp tuyến và dây cung, chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng

𝐼

𝑃

IP bằng bán kính.

c) Tìm vị trí của

𝑀

M trên đoạn

𝑂

𝐶

OC sao cho diện tích tam giác

𝐼

𝑃

𝑂

IPO lớn nhất.

Phương pháp:

Biểu diễn tọa độ các điểm

𝐼

,

𝑃

,

𝑂

I,P,O theo tham số vị trí của

𝑀

M trên

𝑂

𝐶

OC.

Viết biểu thức diện tích tam giác

𝐼

𝑃

𝑂

IPO theo tham số đó.

Tìm giá trị cực đại bằng cách lấy đạo hàm, tìm điểm cực trị.

a có biểu thức \(P\) với các biến dương và điều kiện tổng cố định.

Bước 1: Biểu thức \(x \left(\right. y + z \left.\right)\) có thể viết lại

Vì \(x + y + z = 18\), nên:

\(y + z = 18 - x ,\)

tương tự:

\(z + x = 18 - y , x + y = 18 - z .\)

Vậy:

\(P = \frac{1}{x \left(\right. 18 - x \left.\right)} + \frac{1}{y \left(\right. 18 - y \left.\right)} + \frac{1}{z \left(\right. 18 - z \left.\right)} .\)

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz

Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương:

\(\left(\right. \sum \frac{1}{x \left(\right. y + z \left.\right)} \left.\right) \left(\right. \sum x \left(\right. y + z \left.\right) \left.\right) \geq \left(\right. 1 + 1 + 1 \left.\right)^{2} = 9.\)

Nhưng ta cần tính \(\sum x \left(\right. y + z \left.\right)\):

\(\sum x \left(\right. y + z \left.\right) = x \left(\right. y + z \left.\right) + y \left(\right. z + x \left.\right) + z \left(\right. x + y \left.\right) .\)

Mở rộng:

\(= x \left(\right. y + z \left.\right) + y \left(\right. z + x \left.\right) + z \left(\right. x + y \left.\right) = x y + x z + y z + y x + z x + z y = 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Do đó:

\(\sum x \left(\right. y + z \left.\right) = 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Bước 3: Vậy:

\(P \geq \frac{9}{\sum x \left(\right. y + z \left.\right)} = \frac{9}{2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)} .\)

Bước 4: Tìm mối liên hệ giữa \(x y + y z + z x\) và \(x + y + z\)

Vì \(x , y , z > 0\) và \(x + y + z = 18\), ta áp dụng bất đẳng thức cơ bản:

\(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Suy ra:

\(x y + y z + z x \leq \frac{\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2}}{3} = \frac{18^{2}}{3} = \frac{324}{3} = 108.\)

Bước 5: Áp dụng vào biểu thức \(P\):

\(P \geq \frac{9}{2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)} \geq \frac{9}{2 \times 108} = \frac{9}{216} = \frac{1}{24} .\)

Nhưng đề bài yêu cầu chứng minh \(P \geq \frac{1}{4}\), trong khi ta có được \(P \geq \frac{1}{24}\) theo cách này — chưa đủ mạnh.

Bước 6: Thử cách khác bằng việc đưa về một biến

Do đối xứng, giả sử \(x = y = z = 6\). Thử tính \(P\):

\(P = 3 \times \frac{1}{6 \times \left(\right. 6 + 6 \left.\right)} = 3 \times \frac{1}{6 \times 12} = 3 \times \frac{1}{72} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24} ,\)

giá trị này nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\).

Nhận xét:

Điều này cho thấy đề bài có thể bị sai hoặc thiếu điều kiện vì với \(x = y = z = 6\), \(P = \frac{1}{24}\) chứ không phải \(\geq \frac{1}{4}\).

1=1