\(\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3^2}+...+\dfrac{5}{3^{20}}=5\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{20}}\right)\)

Gọi \(A=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{20}}\). Ta có

\(3A=1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{3^{19}}\)

\(3A-A=\left(1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{3^{19}}\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{20}}\right)\)

\(2A=1-\dfrac{1}{3^{20}}\)

\(A=\dfrac{1-\dfrac{1}{3^{20}}}{2}\)

Suy ra \(\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3^2}+...+\dfrac{5}{3^{20}}=5\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{20}}\right)=5\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{3^{20}}}{2}=\dfrac{5-\dfrac{5}{3^{20}}}{2}\)

Bài 2, câu 9.

\(\left|x+3\right|-5\left(-7+13\right)=24\)

\(\left|x+3\right|-5\cdot6=24\)

\(\left|x+3\right|-30=24\)

\(\left|x+3\right|=24+30=54\)

\(x+3=54\) hoặc \(x+3=-54\)

\(x=54-3=51\) hoặc \(x=-54-3=-57\)

Vậy x = 51 hoặc x = -57

Bài 2, câu 10.

\(\left|x-2019\right|=\left|x-2020\right|\)

Xét các trường hợp sau: x ≥ 2020; 2019 ≤ x < 2020; x < 2019.

Nếu x ≥ 2020 thì cả hai phép tính trong hai giá trị tuyệt đối của hai vế đều không âm. Khi đó x - 2019 = x - 2020 hay -2019 = -2020, vô lí.

Nếu x < 2019 thì cả hai phép tính trong hai giá trị tuyết đối của hai vế đều âm. Khi đó -(x - 2019) = -(x - 2020) hay 2019 = 2020, vô lí.

Nếu 2019 ≤ x < 2020 thì phép tính trong giá trị tuyệt đối của vế trái không âm, phép tính trong giá trị tuyệt đối của vế phải không dương.

Suy ra x - 2019 = -(x - 2020)

           x - 2019 = -x + 2020

                x + x = 2020 + 2019

                    2x = 4039

                      x = 4039 : 2 = 2019,5

Vậy x = 2019,5

Nếu viết đầy đủ từ bước 1 sang bước 2 thì biểu thức trên sẽ như sau:

\(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{21}+...+\dfrac{1}{120}=\dfrac{2}{20}+\dfrac{2}{30}+...+\dfrac{2}{240}\)

\(=2\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}+...+\dfrac{1}{240}\right)\)

Có thể thấy rằng, phép nhân ở đầu là để giữ nguyên giá trị của biểu thức và do ý đồ của nguời ra đề để có thể giải bài toán một cách hợp lí. Ý đồ ở đây là việc tách các phân số ra để đa số các hạng tử triệt tiêu lẫn nhau. Từ bước 2, ta có thể làm như sau:

\(2\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}+...+\dfrac{1}{240}\right)=2\left(\dfrac{1}{4\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot6}+...+\dfrac{1}{15\cdot16}\right)\)

\(=2\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{16}\right)\)

Ở đây, nếu rút gọn thừa số bên phải thì đa số các hạng tử (trừ hai hạng tử \(\dfrac{1}{4}\) và \(-\dfrac{1}{16}\)) sẽ triệt tiêu lẫn nhau, từ đó có thể giải bài toán một cách dễ dàng.

\(A=\dfrac{1}{2\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot8}+...+\dfrac{1}{95\cdot98}\)

\(3A=\dfrac{3}{2\cdot5}+\dfrac{3}{5\cdot8}+...+\dfrac{3}{95\cdot98}\)

\(3A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{95}-\dfrac{1}{98}\)

\(3A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{98}\)

\(A=\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{98}}{3}=\dfrac{8}{49}\)

Xem lại đề: Lấy điểm M ở trong hay ở ngoài đoạn thẳng AB?

20x + 26x + 32x + ... + 182x = 11312

x(20 + 26 + 32 + ... + 182) = 11312

Xét tổng 20 + 26 + 32 + ... + 182. Tổng trên có số số hạng là:
(182 - 20) : 6 + 1 = 28 (số hạng)

Suy ra tổng 20 + 26 + 32 + ... + 182 bằng:

(182 + 20) . 28 : 2 = 2828

Suy ra

x . 2828 = 11312

x = 11312 : 2828 = 4

Vậy x = 4

Ta thấy tất cả thừa số đều tận cùng bằng chữ số 3.

Tích trên có số thừa số là: (2023 - 3) : 10 + 1 = 203 (thừa số)

Cho nên chữ số tận cùng của tích trên cũng là chữ số tận cùng của 203 thừa số 3 nhân với nhau.

Ta lập bảng:

Dãy các chữ số tận cùng của 3 . 3 ... 3 (n số 3) với n = 1; 2; 3; ... là:

3; 9; 7; 1; 3; 9; 7; 1; ...

Ta có 203 : 4 = 50 (dư 3). Suy ra 3 . 3 ... 3 (203 số 3) tận cùng bằng chữ số 7.

Vậy tích 3 . 13 . 23 ... 2023 tận cùng bằng chữ số 7.

\(B=\dfrac{1}{1\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot7}+...+\dfrac{1}{2014\cdot2021}\)

\(3B=\dfrac{3}{1\cdot4}+\dfrac{3}{4\cdot7}+...+\dfrac{3}{2014\cdot2021}\)

\(3B=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{2014}-\dfrac{1}{2021}\)

\(3B=1-\dfrac{1}{2021}\)

\(B=\dfrac{1-\dfrac{1}{2021}}{3}=\dfrac{\dfrac{2020}{2021}}{3}=\dfrac{2020}{6063}\)

\(\left(n-6\right)⋮\left(n-1\right)\Leftrightarrow\left(n-6\right)-\left(n-1\right)⋮\left(n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow-5⋮\left(n-1\right)\Rightarrow\left(n-1\right)\inƯ\left(-5\right)\) (từ đây lập bảng và kết luận)