Chúng ta cùng giải lại chi tiết bài toán hình học này:

Đề bài:

• Tam giác \(A B C\) ngoại tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) ⇒ (O) là đường tròn nội tiếp tam giác \(A B C\).
• Chu vi tam giác \(A B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\)
• Một tiếp tuyến của đường tròn (O), song song với cạnh BC, cắt \(A B\) tại \(M\), cắt \(A C\) tại \(N\)
• Biết \(M N = 2,4 \textrm{ } \text{cm}\)

Yêu cầu: Tính độ dài \(B C\)

Phân tích hình học:

🟢 1. Gọi độ dài các cạnh:

• \(A B = c\), \(B C = a\), \(C A = b\)
• Chu vi tam giác: \(a + b + c = 20\)
• Nửa chu vi: \(s = \frac{a + b + c}{2} = 10\)

🟢 2. Vai trò của đoạn MN:

• Do (O) là đường tròn nội tiếp nên tiếp tuyến song song với cạnh \(B C\), cắt \(A B\) tại \(M\), cắt \(A C\) tại \(N\), chính là đoạn nối hai điểm tiếp xúc của (O) với cạnh \(A B\) và \(A C\), tức là đoạn \(F E\).
• Ta biết:
  \(M N = F E = \left(\right. s - b \left.\right) + \left(\right. s - c \left.\right) = 2 s - \left(\right. b + c \left.\right)\)

Nhưng từ chu vi:

Thế vào công thức:

✅ Kết luận:

💡 Ghi nhớ:

Trong tam giác ngoại tiếp đường tròn, đoạn thẳng nối 2 điểm tiếp xúc trên 2 cạnh và song song cạnh còn lại sẽ bằng chính độ dài cạnh đó. Đây là một ứng dụng hình học tinh tế và hay!

Ta có hệ 3 đẳng thức giữa các tích 2 ẩn:

\(a b = - \frac{6}{7} , b c = \frac{4}{3} , c a = - \frac{7}{30}\)

Ta cần tìm các số \(a , b , c\). Ta làm như sau:

Bước 1: Nhân cả 3 phương trình với nhau

\(\left(\right. a b \left.\right) \left(\right. b c \left.\right) \left(\right. c a \left.\right) = \left(\right. - \frac{6}{7} \left.\right) \left(\right. \frac{4}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{7}{30} \left.\right)\)

Vế trái:

\(\left(\right. a b \left.\right) \left(\right. b c \left.\right) \left(\right. c a \left.\right) = \left(\right. a^{2} \left.\right) \left(\right. b^{2} \left.\right) \left(\right. c^{2} \left.\right) \Rightarrow \left(\right. a b c \left.\right)^{2}\)

Vế phải:

\(\left(\right. - \frac{6}{7} \left.\right) \left(\right. \frac{4}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{7}{30} \left.\right) = \frac{6 \cdot 4 \cdot 7}{7 \cdot 3 \cdot 30} = \frac{168}{630}\)

Rút gọn:

\(\frac{168}{630} = \frac{28}{105} = \frac{4}{15}\)

Vì có 2 dấu âm nên kết quả là dương:

\(\left(\right. a b c \left.\right)^{2} = \frac{4}{15} \Rightarrow a b c = \pm \sqrt{\frac{4}{15}} = \pm \frac{2}{\sqrt{15}} = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{15}\)

Bước 2: Giải từng ẩn

Chọn 1 giá trị cụ thể để tìm \(a , b , c\). Giả sử \(a b c = \frac{2 \sqrt{15}}{15}\)

Ta có:

\(a b = - \frac{6}{7} \Rightarrow c = \frac{a b c}{a b} = \frac{\frac{2 \sqrt{15}}{15}}{- \frac{6}{7}} = \frac{2 \sqrt{15}}{15} \cdot \left(\right. - \frac{7}{6} \left.\right) = - \frac{14 \sqrt{15}}{90} = - \frac{7 \sqrt{15}}{45}\) \(b c = \frac{4}{3} \Rightarrow a = \frac{a b c}{b c} = \frac{\frac{2 \sqrt{15}}{15}}{\frac{4}{3}} = \frac{2 \sqrt{15}}{15} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6 \sqrt{15}}{60} = \frac{\sqrt{15}}{10}\) \(c a = - \frac{7}{30} \Rightarrow b = \frac{a b c}{c a} = \frac{\frac{2 \sqrt{15}}{15}}{- \frac{7}{30}} = \frac{2 \sqrt{15}}{15} \cdot \left(\right. - \frac{30}{7} \left.\right) = - \frac{60 \sqrt{15}}{105} = - \frac{4 \sqrt{15}}{7}\)

Kết quả:

Một bộ nghiệm là:

\(\boxed{a = \frac{\sqrt{15}}{10} , b = - \frac{4 \sqrt{15}}{7} , c = - \frac{7 \sqrt{15}}{45}}\)

Nếu bạn chọn \(a b c = - \frac{2 \sqrt{15}}{15}\), thì mọi giá trị trên sẽ đổi dấu.

Dưới đây là phần hướng dẫn trả lời chi tiết cho từng câu hỏi dựa trên đoạn trích:

Câu 1. Xác định luận điểm ở đoạn văn 1

Luận điểm:

Tài năng không phải là thứ bẩm sinh, mà là kết quả của sự rèn luyện nghiêm khắc, kiên trì và bền bỉ.

Câu 2. Chỉ ra một lí lẽ trong đoạn văn 2

Lí lẽ:

Trước khi nghĩ đến việc tiếp thu kiến thức hay giải bài khó, điều quan trọng trước hết là phải bồi đắp tình yêu thương – vì đó là nguồn năng lượng giúp tài năng phát triển đúng hướng và bền vững.

Câu 3. Nêu tác dụng của việc sử dụng bằng chứng trong đoạn văn 1

Tác dụng:

Việc sử dụng câu nói "Ngọc bất trác bất thành khí" và các hình ảnh so sánh như đá quý, ngọc… giúp lập luận trở nên sinh động, dễ hiểu, đồng thời nhấn mạnh vai trò quan trọng của sự rèn luyện trong việc hình thành tài năng.

Câu 4. Nêu thông điệp từ đoạn trích

Thông điệp:

Tài năng chỉ có được qua quá trình rèn luyện nghiêm túc và lâu dài, nhưng để trở thành người có ích, cần có tình yêu thương và đạo đức. Hãy sống khiêm nhường, biết yêu thương để phát triển tài năng đúng hướng và trở thành người có ích cho xã hội.

Câu 5. Hai lối nhỏ mà người xưa xây dựng ở Văn Miếu Quốc tử giám Hà Nội có mang tên “Thành đức” và “Đạt tài”, em sẽ chọn “lối đi nào” để vào đời? Vì sao?

Gợi ý trả lời (có thể cá nhân hóa theo cảm nhận của học sinh):

Em sẽ chọn “Thành đức” để vào đời, bởi em tin rằng đạo đức là nền tảng quan trọng nhất của con người. Khi có đạo đức, có lòng yêu thương, khiêm nhường và sống đúng đắn, em sẽ dần phát triển và đạt được tài năng một cách đúng hướng và bền vững. Như đoạn trích đã nói, tài năng thiếu đạo đức dễ trở thành bi kịch hoặc bị sử dụng sai lạc.

ê bn

Phân tích đề bài:

• Gọi \(M\) là giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) của hình bình hành \(C A B D\).
• Vì \(C A B D\) là hình bình hành nên \(M\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).
• \(A\) và \(B\) cố định. \(C\) di động trên đường tròn \(\left(\right. O , R \left.\right)\).
• Dựng điểm \(D\) sao cho \(C A B D\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{C B} \Rightarrow D = A + \overset{⃗}{C B}\).

Hướng chứng minh:

1. Tìm biểu thức vị trí của điểm \(M\) theo \(C\).
2. Chứng minh rằng quỹ tích điểm \(M\) là một đường tròn cố định.

Giải:

Giả sử ta làm việc trong mặt phẳng tọa độ.

• Gọi vị trí điểm \(A\), \(B\) là các vectơ \(\overset{⃗}{a}\), \(\overset{⃗}{b}\), điểm \(C\) là \(\overset{⃗}{c}\), điểm \(D\) được xác định sao cho \(C A B D\) là hình bình hành. Khi đó:

(Giải thích: Trong hình bình hành, \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{C B} = \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c}\), nên \(\overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{A} + \left(\right. \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c} \left.\right) = \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c}\)).

Giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) là điểm \(M\), trung điểm của \(A C\) và cũng là trung điểm của \(B D\). Ta chọn công thức trung điểm theo \(A\) và \(C\):

Vì \(\overset{⃗}{C}\) thay đổi trên đường tròn \(\left(\right. O , R \left.\right)\), và \(A\) cố định, nên \(\overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2}\) sẽ di chuyển theo quy luật.

Dùng hình học giải thích:

• Ta coi đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) cố định, điểm \(C\) di chuyển trên đường tròn.
• Lấy trung điểm \(I\) của đoạn \(A B\). Vì \(A B\) cố định, \(I\) là điểm cố định.
• Mỗi khi \(C\) thay đổi, ta dựng hình bình hành \(C A B D\), thì trung điểm \(M\) của đoạn chéo \(A C\) sẽ thay đổi.

Ta sẽ chứng minh rằng điểm \(M\) luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Ý tưởng hay: Sử dụng đối xứng

Ta biết rằng trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ta khai thác yếu tố đối xứng.

Ta dùng biến đổi vectơ như sau:

Khi \(C\) thay đổi trên đường tròn tâm \(O\), hãy xem quỹ tích \(\overset{⃗}{M}\) có dạng gì.

Ta đặt \(C = O + R \cdot \overset{⃗}{u}\) với \(\overset{⃗}{u}\) là vectơ đơn vị thay đổi (do \(C\) di chuyển trên đường tròn).

Như vậy, điểm \(M\) di chuyển trên đường tròn bán kính \(\frac{R}{2}\), tâm là điểm:

Tức là trung điểm của đoạn \(A O\).

Kết luận:

Giao điểm \(M\) của hai đường chéo hình bình hành \(C A B D\) luôn nằm trên đường tròn cố định bán kính bằng nửa bán kính đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), và tâm là trung điểm đoạn \(A O\).

Tổng quát hình học:

• Dù điểm \(C\) thay đổi trên đường tròn, điểm \(M\) (trung điểm \(A C\)) luôn nằm trên đường tròn đường kính \(A O\), bán kính \(\frac{A O}{2}\).
• Vì vậy, quỹ tích điểm \(M\) là một đường tròn cố định, không phụ thuộc vào vị trí của \(C\).

Trả lời ngắn gọn:

Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(C A B D\) luôn nằm trên một đường tròn cố định, vì đó là trung điểm đoạn \(A C\), với \(A\) cố định và \(C\) chạy trên đường tròn. Quỹ tích điểm \(M\) là một đường tròn bán kính bằng nửa bán kính đường tròn ban đầu, có tâm là trung điểm đoạn \(A O\).

Ta tính:

👉 Đáp án: \(\boxed{123469134}\) ✅

Chúng ta sẽ chứng minh công thức:

\(n \left(\right. X \left.\right) = n \left(\right. A \cap B \left.\right) + n \left(\right. A \cap C \left.\right) + n \left(\right. B \cap C \left.\right) - n \left(\right. A \left.\right) - n \left(\right. B \left.\right) - n \left(\right. C \left.\right) + n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

với:

\(X = \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right) \cup \left(\right. B \cap C \left.\right)\)

🔍 1. Bản chất bài toán:

Ta cần tính số phần tử của tập hợp \(X\), là hợp của ba giao tập con.

Đây là một bài toán sử dụng định lý đếm (còn gọi là công thức cộng – trừ) trong tổ hợp, đặc biệt áp dụng cho các giao và hợp của nhiều tập hợp.

🧠 2. Hướng đi:

Chúng ta biết công thức kinh điển:

\(n \left(\right. A \cup B \cup C \left.\right) = n \left(\right. A \left.\right) + n \left(\right. B \left.\right) + n \left(\right. C \left.\right) - n \left(\right. A \cap B \left.\right) - n \left(\right. A \cap C \left.\right) - n \left(\right. B \cap C \left.\right) + n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

Nhưng ở đây, bài yêu cầu là tính n(X) với:

\(X = \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right) \cup \left(\right. B \cap C \left.\right)\)

Vậy ta cần tính số phần tử trong hợp của ba tập giao. Để làm điều đó, ta áp dụng công thức đếm với ba tập – cụ thể:

✅ 3. Gọi các tập:

• \(X_{1} = A \cap B\)
• \(X_{2} = A \cap C\)
• \(X_{3} = B \cap C\)

Khi đó:

\(X = X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3}\)

Áp dụng công thức đếm số phần tử của hợp ba tập hợp:

\(n \left(\right. X \left.\right) = n \left(\right. X_{1} \left.\right) + n \left(\right. X_{2} \left.\right) + n \left(\right. X_{3} \left.\right) - n \left(\right. X_{1} \cap X_{2} \left.\right) - n \left(\right. X_{1} \cap X_{3} \left.\right) - n \left(\right. X_{2} \cap X_{3} \left.\right) + n \left(\right. X_{1} \cap X_{2} \cap X_{3} \left.\right)\)

✅ 4. Tính từng phần:

🎯 Bước 1:

• \(n \left(\right. X_{1} \left.\right) = n \left(\right. A \cap B \left.\right)\)
• \(n \left(\right. X_{2} \left.\right) = n \left(\right. A \cap C \left.\right)\)
• \(n \left(\right. X_{3} \left.\right) = n \left(\right. B \cap C \left.\right)\)

🎯 Bước 2: Tính các giao 2:

• \(X_{1} \cap X_{2} = \left(\right. A \cap B \left.\right) \cap \left(\right. A \cap C \left.\right) = A \cap B \cap C\)
• \(X_{1} \cap X_{3} = \left(\right. A \cap B \left.\right) \cap \left(\right. B \cap C \left.\right) = A \cap B \cap C\)
• \(X_{2} \cap X_{3} = \left(\right. A \cap C \left.\right) \cap \left(\right. B \cap C \left.\right) = A \cap B \cap C\)

⇒ Tất cả các giao đôi đều là \(A \cap B \cap C\)

🎯 Bước 3: Giao ba:

• \(X_{1} \cap X_{2} \cap X_{3} = A \cap B \cap C\)

✅ 5. Thay vào công thức:

\(n \left(\right. X \left.\right) & = n \left(\right. A \cap B \left.\right) + n \left(\right. A \cap C \left.\right) + n \left(\right. B \cap C \left.\right) \\ & - n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right) - n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right) - n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right) \\ & + n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\) \(n \left(\right. X \left.\right) = n \left(\right. A \cap B \left.\right) + n \left(\right. A \cap C \left.\right) + n \left(\right. B \cap C \left.\right) - 2 n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

✅ 6. Bây giờ chứng minh công thức yêu cầu:

Ta cần chứng minh:

\(n \left(\right. X \left.\right) = n \left(\right. A \cap B \left.\right) + n \left(\right. A \cap C \left.\right) + n \left(\right. B \cap C \left.\right) - n \left(\right. A \left.\right) - n \left(\right. B \left.\right) - n \left(\right. C \left.\right) + n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

🎯 So sánh hai biểu thức:

Ta đã có:

\(n \left(\right. X \left.\right) = n \left(\right. A \cap B \left.\right) + n \left(\right. A \cap C \left.\right) + n \left(\right. B \cap C \left.\right) - 2 n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

Ta thử biến đổi biểu thức bên phải của đề:

Gọi biểu thức đó là \(E\):

\(E = n \left(\right. A \cap B \left.\right) + n \left(\right. A \cap C \left.\right) + n \left(\right. B \cap C \left.\right) - n \left(\right. A \left.\right) - n \left(\right. B \left.\right) - n \left(\right. C \left.\right) + n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

Ta sẽ chứng minh rằng:

\(E = n \left(\right. X \left.\right)\)

✅ 7. Chứng minh bằng đẳng thức tổ hợp:

Ta dùng lại công thức kinh điển:

\(n \left(\right. A \cup B \cup C \left.\right) = n \left(\right. A \left.\right) + n \left(\right. B \left.\right) + n \left(\right. C \left.\right) - n \left(\right. A \cap B \left.\right) - n \left(\right. B \cap C \left.\right) - n \left(\right. A \cap C \left.\right) + n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

Biến đổi:

\(n \left(\right. A \left.\right) + n \left(\right. B \left.\right) + n \left(\right. C \left.\right) = n \left(\right. A \cap B \left.\right) + n \left(\right. B \cap C \left.\right) + n \left(\right. A \cap C \left.\right) - n \left(\right. A \cup B \cup C \left.\right) + n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

Thay ngược lại:

\(n \left(\right. X \left.\right) = n \left(\right. A \cap B \left.\right) + n \left(\right. A \cap C \left.\right) + n \left(\right. B \cap C \left.\right) - 2 n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

Vậy:

\(E = n \left(\right. X \left.\right)\)

✅ Kết luận:

Ta đã chứng minh được:

\(n \left(\right. \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right) \cup \left(\right. B \cap C \left.\right) \left.\right) = n \left(\right. A \cap B \left.\right) + n \left(\right. A \cap C \left.\right) + n \left(\right. B \cap C \left.\right) - n \left(\right. A \left.\right) - n \left(\right. B \left.\right) - n \left(\right. C \left.\right) + n \left(\right. A \cap B \cap C \left.\right)\)

✅ Đã chứng minh xong!

Chắc chắn rồi! Mình sẽ giúp bạn giải bài toán này và giải thích bản chất, các bước làm một cách dễ hiểu nhé.

✅ Tóm tắt đề bài:

• Cây mọc vuông góc mặt đất → nghĩa là thẳng đứng.
• Do giông bão, cây gãy gập xuống và nằm ngang tạo góc 45° so với mặt đất.
• Khoảng cách từ ngọn cây chạm đất đến gốc cây là 4,5m.
• Yêu cầu: Tính chiều cao ban đầu của cây, làm tròn đến hàng phần mười.

✅ Phân tích bản chất bài toán:

🔺 Mô hình bài toán là tam giác vuông:

• Cây ban đầu dựng thẳng đứng → là cạnh đối góc 45°.
• Sau khi gãy, cây tạo với mặt đất một góc 45° và ngọn cây chạm đất → cây nghiêng tạo thành cạnh huyền dài 4,5m.
• Tam giác vuông này có:
• • Cạnh huyền = 4,5m
  • Góc 45°
  • Cần tìm chiều cao ban đầu của cây = cạnh đối

✅ Cách giải (dùng lượng giác):

Sử dụng hàm sin trong tam giác vuông:

\(sin ⁡ \left(\right. \theta \left.\right) = \frac{đ \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}}{\text{huy} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n}}\)

Với:

• \(\theta = 45^{\circ}\)
• Huyền = 4,5 m
• Đối = chiều cao cây \(h\)

\(sin ⁡ \left(\right. 45^{\circ} \left.\right) = \frac{h}{4.5} \Rightarrow h = 4.5 \times sin ⁡ \left(\right. 45^{\circ} \left.\right)\)

Ta biết:

\(sin ⁡ \left(\right. 45^{\circ} \left.\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\)

Tính:

\(h = 4.5 \times 0.7071 \approx 3.18195\)

👉 Làm tròn đến hàng phần mười:

\(\boxed{h \approx 3.2 \&\text{nbsp};\text{m} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{t}}\)

✅ Đáp án cuối cùng:

👉 Chiều cao của cây là khoảng: \(\boxed{3.2 \&\text{nbsp};\text{m} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{t}}\)

✅ Giải thích lại ngắn gọn bản chất bài toán:

• Bài toán dùng tam giác vuông với góc 45°, ứng dụng kiến thức lượng giác lớp 9 (hoặc lớp 10).
• Dùng hàm sin để tìm cạnh đối khi biết góc và cạnh huyền.
• Cạnh huyền là cây bị gãy nghiêng, cạnh đối là chiều cao ban đầu của cây.

Câu: "He cooked while Linda reading books" có lỗi ngữ pháp.

✅ Lỗi sai:

"Linda reading books" ❌
Đây là sai về thì (tense) và cấu trúc câu.

🛠 Giải thích:

Cấu trúc đúng với "while" (trong khi) là:

While + S + was/were + V-ing (quá khứ tiếp diễn)
để diễn tả một hành động đang xảy ra song song với hành động khác.

• "He cooked" → quá khứ đơn (đã nấu)
• Vậy hành động “Linda đọc sách” xảy ra đồng thời → cần chia ở quá khứ tiếp diễn.

✅ Câu đúng là:

👉 "He cooked while Linda was reading books."

Nếu bạn muốn đảo lại:
👉 "While Linda was reading books, he cooked." – cũng đúng!

Chắc chắn rồi! Chúng ta sẽ giải từng câu một cách rõ ràng nhé. Ký hiệu:

• \(x \in \mathbb{N}\) nghĩa là x là số tự nhiên
• \(a \backslash\text{divides} b\) hay viết là \(b \textrm{ } \vdots \textrm{ } a\) nghĩa là b chia hết cho a
• \(x \textrm{ } \vdots \textrm{ } 13\) nghĩa là x chia hết cho 13

a) \(x \textrm{ } \vdots \textrm{ } 13\) và \(30 < x < 55\)

Tức là ta tìm các bội của 13 trong khoảng (30, 55):

• Bội của 13: 13, 26, 39, 52, 65,...
• Trong khoảng từ 30 đến 55: 39 và 52

👉 Đáp án: x = 39, 52

b) \(20 \textrm{ } \vdots \textrm{ } x\) và \(x > 8\)

Tức là x là ước của 20 (vì 20 chia hết cho x), và x > 8.

• Các ước của 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
• Lọc ra các số > 8: 10, 20

👉 Đáp án: x = 10, 20

c) \(x \textrm{ } \vdots \textrm{ } 17\) và \(50 < x < 60\)

Tức là ta tìm bội của 17 trong khoảng (50, 60):

• Bội của 17: 17, 34, 51, 68,...
• Trong khoảng từ 50 đến 60 chỉ có: 51

👉 Đáp án: x = 51

d) \(30 \textrm{ } \vdots \textrm{ } x\) và \(x > 6\)

Tức là x là ước của 30 và lớn hơn 6.

• Các ước của 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
• Lọc ra các số > 6: 10, 15, 30

👉 Đáp án: x = 10, 15, 30