Mai vẫn còn 5 quả táo.

Lý do: Câu hỏi là "Mai còn bao nhiêu quả?" chứ không hỏi "Còn bao nhiêu quả trong giỏ". Mai chỉ lấy 3 quả từ giỏ bỏ vào túi, nhưng cả 5 quả vẫn là của Mai, chỉ là chúng ở chỗ khác thôi.

👉 Đáp án: 5 quả.

Cho hình bình hành \(A B C D\), ta làm rõ các giả thiết và chứng minh từng phần:

Giả thiết:

• \(A B C D\) là hình bình hành.
• \(B\) là trung điểm của đoạn \(A M\) \(\Rightarrow \overset{⃗}{B} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{M}}{2}\).
• \(C\) là trung điểm của đoạn \(D N\) \(\Rightarrow \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{N}}{2}\).

Câu a) Chứng minh tứ giác \(A M N D\) là hình bình hành

Cách làm (dùng vectơ):

Ta cần chứng minh: Hai cặp cạnh đối của tứ giác \(A M N D\) song song và bằng nhau, hoặc một cách đơn giản hơn là chứng minh:

\(\overset{⃗}{A M} = \overset{⃗}{D N}\)

Bước 1: Từ \(B\) là trung điểm của \(A M\), ta có:

\(\overset{⃗}{M} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A}\)

Bước 2: Từ \(C\) là trung điểm của \(D N\), ta có:

\(\overset{⃗}{N} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D}\)

Tính \(\overset{⃗}{A M}\) và \(\overset{⃗}{D N}\)

• \(\overset{⃗}{A M} = \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{A} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} \left.\right) - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{B} - 2 \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{A B}\)
• \(\overset{⃗}{D N} = \overset{⃗}{N} - \overset{⃗}{D} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} \left.\right) - \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C D}\)

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên: \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{C D}\)

\(\Rightarrow \overset{⃗}{A M} = 2 \overset{⃗}{A B} = 2 \overset{⃗}{C D} = \overset{⃗}{D N}\)

Kết luận: \(\overset{⃗}{A M} = \overset{⃗}{D N} \Rightarrow A M \parallel D N\) và \(A M = D N\)

Tương tự, cũng có thể chứng minh \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{M N}\)

Suy ra tứ giác \(A M N D\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, vậy là hình bình hành.

Câu b) Chứng minh các trung điểm của \(A N\), \(D M\), \(B C\) trùng nhau

Gọi \(I_{1} , I_{2} , I_{3}\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(A N , D M , B C\)

Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm:

• Trung điểm của \(A N\):

\(I_{1} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{N}}{2} = \frac{\overset{⃗}{A} + \left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} \left.\right)}{2} = \frac{\overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{D}}{2} + \overset{⃗}{C}\)

• Trung điểm của \(D M\):

\(\overset{⃗}{M} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} , \Rightarrow I_{2} = \frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{M}}{2} = \frac{\overset{⃗}{D} + \left(\right. 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} \left.\right)}{2} = \frac{- \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2} + \overset{⃗}{B}\)

• Trung điểm của \(B C\):

\(I_{3} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2}\)

Bước 2: So sánh \(I_{1} , I_{2} , I_{3}\)

Ta sẽ chứng minh chúng bằng nhau.

So sánh \(I_{1}\) và \(I_{3}\):

Từ giả thiết hình bình hành:

• \(\overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{A D}\)
• \(\overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{D} + \left(\right. \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{D} \left.\right) = \overset{⃗}{A}\)

Nhưng thay cách tiếp cận: ta chứng minh bằng hình học thay vì tính tọa độ:

Cách khác – Hình học trực tiếp:

• Gọi \(I\) là trung điểm của \(B C\).
• Ta đã có \(B\) là trung điểm của \(A M\) \(\Rightarrow\) \(A M\) là đường trung vị trong tam giác \(A N M\)
• Tương tự, \(C\) là trung điểm của \(D N\), nên \(D N\) là đường trung vị.

Suy ra:

• Trung điểm của \(A N\), \(D M\) và \(B C\) đều nằm ở giao điểm của các đường trung vị → trùng nhau.

✅ Kết luận:

• a) Tứ giác \(A M N D\) là hình bình hành vì \(\overset{⃗}{A M} = \overset{⃗}{D N}\)
• b) Các trung điểm của \(A N\), \(D M\), và \(B C\) trùng nhau

Nếu bạn cần hình vẽ minh họa hoặc chứng minh theo tọa độ cụ thể, mình có thể bổ sung!

1.

456 - (18 ÷ 6) - 452

Bước 1:
18 ÷ 6 = 3

Biểu thức trở thành:
456 - 3 - 452

Bước 2:
456 - 3 = 453

Bước 3:
453 - 452 = 1

✅ Kết quả: 1

2.

200 ÷ (100 ÷ 4)

Bước 1:
100 ÷ 4 = 25

Biểu thức trở thành:
200 ÷ 25

Bước 2:
200 ÷ 25 = 8

✅ Kết quả: 8

Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\sum_{n = 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} < 1\)

✅ Hướng tiếp cận:

• Tổng \(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449\)
• Do đó:

\(\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} - 1 \approx 0.6449\)

• Và:

\(\sum_{n = 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} < \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \approx 0.6449 < 1\)

⏹ Vậy ta đã chứng minh xong:

\(\sum_{n = 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} < 1\)

🔍 Có thể kiểm tra gần đúng bằng máy tính:

Tính:

\(\sum_{n = 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} \approx 0.634\)

➡️ Vẫn < 1.

✅ Kết luận:

\(\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \hdots + \frac{1}{100^{2}} < 1\)

Đã được chứng minh.

Ok bro, mình cùng giải bài toán này từ từ cho dễ hiểu nha:

✅ Đề bài:

Tam giác ABC bằng tam giác DEF, tức là:

\(\triangle A B C \cong \triangle D E F\)

Biết:

• Góc A = 60°
• Góc E = 80°

Yêu cầu: Tính các góc B, C, D, F

🔍 Phân tích:

Vì hai tam giác bằng nhau (≅), nên các góc tương ứng bằng nhau, tức là:

\(\angle A = \angle D \angle B = \angle E \angle C = \angle F\)

🧠 Áp dụng:

Biết:

• \(\angle A = 60^{\circ} \Rightarrow \angle D = 60^{\circ}\)
• \(\angle E = 80^{\circ} \Rightarrow \angle B = 80^{\circ}\)

Trong tam giác ABC, tổng 3 góc = 180°, nên:

\(\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 80^{\circ} = \boxed{40^{\circ}} \Rightarrow \angle F = \angle C = \boxed{40^{\circ}}\)

✅ Kết quả:

Cần mình vẽ hình minh họa không bro?

bằng 2 -1+1

Ok bro, tóm gọn lại:

Đề bài:

• 1/3 quãng đường: đi với \(v_{1} = 45\) km/h
• 2/3 còn lại:
• • 2/3 thời gian với \(v_{2} = 55\) km/h
  • 1/3 thời gian với \(v_{3} = ?\)
• Vận tốc trung bình: \(v_{t b} = 48\) km/h

Giải nhanh:

Gọi quãng đường \(S\), tổng thời gian:

• \(t_{1} = \frac{S}{135}\)
• \(t_{2} = \frac{29 S}{2160}\)

Tính quãng đường đoạn 2 theo \(v_{2}\), \(v_{3}\):

\(\frac{2}{3} S = \left(\right. \frac{110 + v_{3}}{3} \left.\right) \cdot \frac{29 S}{2160}\)

Rút gọn:

\(\left(\right. 110 + v_{3} \left.\right) \cdot \frac{29}{2160} = \frac{2}{3} \Rightarrow 110 + v_{3} = \frac{4320}{29} \approx 148.97 \Rightarrow v_{3} \approx 39 \&\text{nbsp};\text{km}/\text{h}\)

✅ Đáp số:

\(\boxed{v_{3} \approx 39 \&\text{nbsp};\text{km}/\text{h}}\)

tích cho mk đi bro

Ok bro, mấy câu này là giải phương trình dạng lập phương kiểu:

\(\left(\right. x - a \left.\right)^{3} = b \Rightarrow x = a + \sqrt[3]{b}\)

Tớ sẽ giải lần lượt từng câu cho gọn gàng nha:

a/

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)^{3} = - 8\)

\(x - \frac{1}{2} = \sqrt[3]{- 8} = - 2 \Rightarrow x = - 2 + \frac{1}{2} = \boxed{- \frac{3}{2}}\)

1. \(\left(\right. x - \frac{5}{2} \left.\right)^{3} = - \frac{1}{8}\)

\(x - \frac{5}{2} = \sqrt[3]{- \frac{1}{8}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \boxed{2}\)

b/

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{3} \left.\right)^{3} = \frac{27}{8}\)

\(x - \frac{1}{3} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6} \Rightarrow \boxed{x = \frac{11}{6}}\)

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{8} \left.\right)^{3} = - \frac{8}{125}\)

\(x - \frac{1}{8} = \sqrt[3]{- \frac{8}{125}} = - \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{8} - \frac{2}{5} = \boxed{- \frac{11}{40}}\)

c/

\(\left(\right. x - \frac{5}{2} \left.\right)^{3} = - \frac{8}{27}\)

\(x - \frac{5}{2} = \sqrt[3]{- \frac{8}{27}} = - \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{15 - 4}{6} = \boxed{\frac{11}{6}}\)

d/

\(\left(\right. x - \frac{1}{3} \left.\right)^{3} = \frac{8}{27}\)

\(x - \frac{1}{3} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \boxed{1}\)

✅ Tóm tắt đáp án:

Có cần mình hướng dẫn cách bấm máy tính để ra nhanh hơn không bro?

Ok bro, mấy câu này là giải phương trình dạng lập phương kiểu:

\(\left(\right. x - a \left.\right)^{3} = b \Rightarrow x = a + \sqrt[3]{b}\)

Tớ sẽ giải lần lượt từng câu cho gọn gàng nha:

a/

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)^{3} = - 8\)

\(x - \frac{1}{2} = \sqrt[3]{- 8} = - 2 \Rightarrow x = - 2 + \frac{1}{2} = \boxed{- \frac{3}{2}}\)

1. \(\left(\right. x - \frac{5}{2} \left.\right)^{3} = - \frac{1}{8}\)

\(x - \frac{5}{2} = \sqrt[3]{- \frac{1}{8}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \boxed{2}\)

b/

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{3} \left.\right)^{3} = \frac{27}{8}\)

\(x - \frac{1}{3} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6} \Rightarrow \boxed{x = \frac{11}{6}}\)

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{8} \left.\right)^{3} = - \frac{8}{125}\)

\(x - \frac{1}{8} = \sqrt[3]{- \frac{8}{125}} = - \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{8} - \frac{2}{5} = \boxed{- \frac{11}{40}}\)

c/

\(\left(\right. x - \frac{5}{2} \left.\right)^{3} = - \frac{8}{27}\)

\(x - \frac{5}{2} = \sqrt[3]{- \frac{8}{27}} = - \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{15 - 4}{6} = \boxed{\frac{11}{6}}\)

d/

\(\left(\right. x - \frac{1}{3} \left.\right)^{3} = \frac{8}{27}\)

\(x - \frac{1}{3} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \boxed{1}\)

✅ Tóm tắt đáp án:

Có cần mình hướng dẫn cách bấm máy tính để ra nhanh hơn không bro?