số chính phương là số được viết dưới dạng bình phương của một số nguyên

ví dụ: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; ...

\(1^2=1;2^2=4;3^2=9;4^2=16;5^2=25;\)

\(6^2=36;7^2=49;8^2=64;9^2=81;10^2=100\)

\(a.\left(x-\frac12\right)^3=-8=\left(-2\right)^3\)

\(\Rightarrow x-\frac12=-2\)

\(x=-2+\frac12=-\frac32\)

\(b.\left(x-\frac13\right)^3=\frac{27}{8}=\left(\frac32\right)^3\)

\(\Rightarrow x-\frac13=\frac32\)

\(x=\frac32+\frac13=\frac{11}{6}\)

\(c.\left(x-\frac52\right)^3=-\frac{8}{27}=\left(-\frac23\right)^3\)

\(x-\frac52=-\frac23\)

\(x=-\frac23+\frac52=\frac{11}{6}\)

\(d.\left(x-\frac13\right)^3=\frac{8}{27}=\left(\frac23\right)^3\)

\(x-\frac13=\frac23\)

\(x=\frac23+\frac13=\frac33=1\)

\(e.\left(x-\frac52\right)^3=-\frac18=\left(-\frac12\right)^3\)

\(x-\frac52=-\frac12\)

\(x=-\frac12+\frac52=\frac42=2\)

\(f.\left(x-\frac18\right)^3=-\frac{8}{125}=\left(-\frac25\right)^3\)

\(x-\frac18=-\frac25\)

\(x=-\frac25+\frac18=-\frac{11}{40}\)

gọi x (m) là chiều rộng ban đầu của HCN (x>2)

chiều dài ban đầu của HCN là: x+3(m)

diện tích ban đầu HCN là: \(x\left(x+3\right)\left(m^2\right)\)

chiều dài mới của HCN sau khi tăng là: x + 3 + 5 = x + 8 (m)

chiều rộng mới của HCN sau khi giảm là: x - 2 (m)

diện tích mới của HCN là: \(\left(x-2\right)\left(x+8\right)\)

theo đề, diện tích mới tăng \(20m^2\) so với diện tích cũ nên ta có phương trình:

\(\left(x-2\right)\left(x+8\right)-x\left(x+3\right)=20\)

\(\left(x^2+8x-2x-16\right)-\left(x^2+3x\right)=20\)

\(3x-16=20\)

\(3x=36\Rightarrow x=12\) (thoả mãn)

chiều dài ban đầu HCN là: 12 + 3 = 15 (m)

diện tích của hình chữ nhật đó là:

\(15\cdot12=180\left(m^2\right)\)

kết luận: \(180m^2\)

\(\left(3x+1\right)^2-\left(x+1\right)^2=\left(3x+1+x+1\right)\left(3x+1-x-1\right)\)

\(=\left(4x+2\right)\cdot2x=8x^2+4x\)

\(\left(3x+1\right)^2-\left(x+1\right)^2=\left(3x+1+x+1\right)\left(3x+1-x-1\right)\)

\(=\left(4x+2\right)\cdot2x=8x^2+4x\)

b) \(\) \(P=\frac{2-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{2-5\sqrt{x}-15+15}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{\left(2+15\right)-\left(5\sqrt{x}+15\right)}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{17-5\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+3}=\frac{17}{\sqrt{x}+3}-5\)

vì \(\sqrt{x}\ge0\) nên \(\sqrt{x}+3\ge3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+3}\le\frac13\Rightarrow\frac{17}{\sqrt{x}+3}\le\frac{17}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{17}{\sqrt{x}+3}-5\le\frac{17}{3}-5=\frac23\)

dấu = xảy ra khi x=0

vậy max P = \(\frac23\) khi x=0

a) ta có: góc BAC = 180 độ - góc ABC - góc ACB

góc BAC = 180 độ - 70 độ - 30 độ = 80 độ

b) vì AD là tia phân giác của góc BAC nên ta có:

góc BAD = góc DAC = 80 độ : 2 = 40 độ

trong △ ADB có: góc ADB = 180 độ - góc ABD - góc BAD

góc ADB = 180 độ - 70 độ - 40 độ = 70 độ

trong △ HAD có: góc HAD = 90 độ - góc ADH

góc HAD = 90 độ - 70 độ = 20 độ

10) đkxđ: \(x\ne\pm3\)

\(\frac{7}{a^2-9}+\frac{5}{a-3}+\frac{1}{a+3}=\frac{7}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}+\frac{5\cdot\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a-3\right)}+\frac{a-3}{\left(a+3\right)\left(a-3\right)}\)

\(=\frac{7+5a+15+a-3}{\left(a+3\right)\left(a-3\right)}=\frac{6a+19}{\left(a+3\right)\left(a-3\right)}\)

11) đkxđ: \(x\ne-1\)

\(\frac{2x-1}{x^3+1}+\frac{2x}{x^2-x+1}-\frac{x}{x+1}+2\)

\(=\frac{2x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\frac{2x\cdot\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\frac{x\cdot\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\frac{2\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(\) \(=\frac{2x-1+2x^2+2x-x^3+x^2-x+2x^3+2}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(=\frac{x^3+3x^2+3x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)^3}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2-x+1}\)

13) đkxđ: \(x\ne\pm\frac32\)

\(\frac{5}{2x-3}+\frac{2}{2x+3}-\frac{2x+5}{9-4x^2}\)

\(=\frac{5\cdot\left(2x+3\right)}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}+\frac{2\cdot\left(2x-3\right)}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}+\frac{2x+5}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

\(=\frac{10x+15+4x-6+2x+5}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

\(=\frac{16x+14}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)

\(a.M=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right)\)

\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\left\lbrack\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right\rbrack\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\frac{\sqrt{x}-1+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\)

\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\)

\(b.M>0\Leftrightarrow\frac{x-1}{\sqrt{x}}>0\)

\(\) \(\Rightarrow x-1>0\Rightarrow x>1\)

vậy x>1 thì M>0