• a) \(m = \left(\right. A D M \left.\right) \cap \left(\right. A B N \left.\right)\) là đường thẳng duy nhất đi qua \(A\) nằm trong cả hai mặt phẳng. (Dựng được bằng cách lấy một mặt phẳng phụ \(\pi\) qua \(A\) và lấy giao tuyến \(\pi \cap \left(\right. A D M \left.\right)\) và \(\pi \cap \left(\right. A B N \left.\right)\).)
• b) Với \(P \in m\) (nội tiếp tứ diện), đặt \(Q = M P \cap \left(\right. A D C \left.\right)\). Khi đó \(\left(\right. M N P \left.\right) \cap \left(\right. A D C \left.\right) = N Q\).

8 ^8 :55

không lúc đó đi ngủ rùi

ài giải:

Tổng số gà của hai chuồng là:
\(61\) (con).

Nếu chuồng 1 bắt đi 2 con, chuồng 2 bắt đi 3 con thì số gà chuồng 1 bằng \(\frac{4}{3}\) số gà chuồng 2.
Điều đó có nghĩa là:
Số gà chuồng 1 sau khi bắt đi = \(\frac{4}{3}\) số gà chuồng 2 sau khi bắt đi.

Ta coi số gà chuồng 2 sau khi bắt đi là \(3\) phần bằng nhau thì số gà chuồng 1 sau khi bắt đi là \(4\) phần như thế.
Vậy tổng số phần là:
\(3 + 4 = 7\) (phần).

Số gà còn lại của cả hai chuồng sau khi bắt đi là:
\(61 - 2 - 3 = 56\) (con).

Số gà ứng với 1 phần là:
\(56 : 7 = 8\) (con).

Số gà chuồng 1 sau khi bắt đi là:
\(8 \times 4 = 32\) (con).

Số gà chuồng 1 ban đầu là:
\(32 + 2 = 34\) (con).

Số gà chuồng 2 ban đầu là:
\(61 - 34 = 27\) (con).

Đáp số:

• Chuồng 1: 34 con
• Chuồng 2: 27 con

Lời giải

Gọi tọa độ và thiết lập hệ trục:
Để chứng minh nhanh và chặt chẽ, đặt hệ trục sao cho \(A C\) trùng trục hoành.
Gọi \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. c , 0 \left.\right)\) với \(c \neq 0\). Gọi \(B \left(\right. b_{x} , b_{y} \left.\right)\) với \(b_{y} \neq 0\).

Từ giả thiết:

• Đường qua \(A\) vuông góc với \(A C\) là trục tung nên đường \(a\) có phương trình \(x = 0\).
• Đường qua \(B\) song song với \(A C\) là đường ngang \(y = b_{y}\).
  Do đó \(M\), giao của hai đường này, có toạ độ \(M \left(\right. 0 , b_{y} \left.\right)\).

Trung điểm \(I\) của \(A B\) có toạ độ

\(I \left(\right. \frac{b_{x}}{2} , \frac{b_{y}}{2} \left.\right) .\)

Phương trình đường \(M I\). Hệ số góc

\(m_{M I} = \frac{\frac{b_{y}}{2} - b_{y}}{\frac{b_{x}}{2} - 0} = \frac{- \frac{b_{y}}{2}}{\frac{b_{x}}{2}} = - \frac{b_{y}}{b_{x}} .\)

Do đó phương trình \(M I\) là

\(y = b_{y} - \frac{b_{y}}{b_{x}} x .\)

Giao \(N\) của \(M I\) với \(A C\) (với \(A C : \textrm{ }\textrm{ } y = 0\)) thỏa

\(0 = b_{y} - \frac{b_{y}}{b_{x}} x \Rightarrow x = b_{x} .\)

Vậy \(N \left(\right. b_{x} , 0 \left.\right)\).

Đường \(B N\) là đường thẳng đi qua \(B \left(\right. b_{x} , b_{y} \left.\right)\) và \(N \left(\right. b_{x} , 0 \left.\right)\), tức phương trình \(x = b_{x}\) (đường thẳng đứng).

Đường cao \(A H\) đi qua \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) và vuông góc với \(B C\). Hệ số góc của \(B C\) là

\(m_{B C} = \frac{b_{y} - 0}{b_{x} - c} = \frac{b_{y}}{b_{x} - c} ,\)

vậy hệ số góc của \(A H\) là \(- \frac{1}{m_{B C}} = - \frac{b_{x} - c}{b_{y}}\). Do \(A H\) đi qua \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), phương trình là

\(y = - \frac{b_{x} - c}{b_{y}} \textrm{ } x .\)

Giao \(O\) của \(B N\) ( \(x = b_{x}\) ) với \(A H\) có toạ độ

\(O \left(\right. b_{x} , \textrm{ }\textrm{ } y_{O} \left.\right) , y_{O} = - \frac{b_{x} - c}{b_{y}} \cdot b_{x} = - \frac{b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right)}{b_{y}} .\)

a) \(A M B N\) là hình gì? (chứng minh)

Ta có \(B M \parallel A C\) (vì đường qua \(B\) đã cho song song \(A C\)), và \(N\) nằm trên \(A C\), nên \(B M \parallel A N\).
Mặt khác \(A M\) vuông góc với \(A C\) (vì đường \(a\) qua \(A\) vuông góc với \(A C\)), nên \(A M \bot A N\). Từ đó \(A M \bot B M\).

Vì một cặp cạnh đối (AN và BM) song song nên \(A M B N\) là hình thang. Do có \(A M \bot A N\) (tức một góc vuông), nên \(A M B N\) là hình thang vuông.

b) Chứng minh \(C O \bot A B\)

Tính vector:

\(\overset{\rightarrow}{C O} = \left(\right. b_{x} - c , \textrm{ }\textrm{ } y_{O} \left.\right) = \left(\right. b_{x} - c , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right)}{b_{y}} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. b_{x} , \textrm{ }\textrm{ } b_{y} \left.\right) .\)

Tích vô hướng của hai vector này là

\(\overset{\rightarrow}{C O} \cdot \overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. b_{x} - c \left.\right) \cdot b_{x} + \left(\right. - \frac{b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right)}{b_{y}} \left.\right) \cdot b_{y} = b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right) - b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right) = 0.\)

Tích vô hướng bằng \(0\) nên \(\overset{\rightarrow}{C O} \bot \overset{\rightarrow}{A B}\). Do đó \(C O \bot A B\).

Kết luận:
a) Tứ giác \(A M B N\) là hình thang vuông.
b) \(C O\) vuông góc với \(A B\).

ask chatjpt

3180m

Lời giải:

Thời gian tàu đi từ ga Thái Hà đến ga Vành đai 3 là:
\(5 \textrm{ } \text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} \textrm{ } 18 \textrm{ } \text{gi} \hat{\text{a}} \text{y} = 5 \times 60 + 18 = 318 \textrm{ } \text{gi} \hat{\text{a}} \text{y}\)

Quãng đường giữa hai ga là:
\(S = v \times t = 10 \times 318 = 3180 \textrm{ } \text{m} = 3 , 18 \textrm{ } \text{km}\)

Đáp số: \(3 , 18 \textrm{ } \text{km}\)

bài nào v tui xem thử

Lời giải:

Ta có đa thức

\(6 x^{2} - x y - 2 y^{2} + 3 x - 2 y .\)

Nhóm các hạng tử thích hợp:

\(\left(\right. 6 x^{2} - x y - 2 y^{2} \left.\right) + \left(\right. 3 x - 2 y \left.\right) .\)

Phân tích nhóm thứ nhất bằng cách tách thành hai nhóm con:

\(6 x^{2} - x y - 2 y^{2} = 6 x^{2} - 4 x y + 3 x y - 2 y^{2} = 2 x \left(\right. 3 x - 2 y \left.\right) + y \left(\right. 3 x - 2 y \left.\right) = \left(\right. 3 x - 2 y \left.\right) \left(\right. 2 x + y \left.\right) .\)

Vậy toàn biểu thức trở thành

\(\left(\right. 3 x - 2 y \left.\right) \left(\right. 2 x + y \left.\right) + \left(\right. 3 x - 2 y \left.\right) = \left(\right. 3 x - 2 y \left.\right) \left[\right. \left(\right. 2 x + y \left.\right) + 1 \left]\right. .\)

Suy ra đa thức đã cho phân tích thành nhân tử:

\(\boxed{6 x^{2} - x y - 2 y^{2} + 3 x - 2 y = \left(\right. 3 x - 2 y \left.\right) \left(\right. 2 x + y + 1 \left.\right) .}\)

Kiểm tra: nhân lại \(\left(\right. 3 x - 2 y \left.\right) \left(\right. 2 x + y + 1 \left.\right)\) sẽ thu được \(6 x^{2} - x y - 2 y^{2} + 3 x - 2 y\), đúng với đề bài

Giả sử \(A B C D\) là hình thang với \(A B \parallel C D\), hai cạnh đáy không bằng nhau \(\left(\right. A B \neq C D \left.\right)\) và hai cạnh bên bằng nhau \(\left(\right. A D = B C \left.\right)\).

Gọi \(E , F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) xuống đường thẳng \(C D\).

• Vì \(A B \parallel C D\), khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là không đổi nên \(A E = B F\) (cùng là “chiều cao” của hình thang).
• Xét hai tam giác vuông \(\triangle A E D\) và \(\triangle B F C\):
• • \(A E = B F\) (lập luận trên),
  • \(A D = B C\) (giả thiết),
  • Cả hai đều vuông tại \(E\) và \(F\).
    ⇒ \(\triangle A E D \cong \triangle B F C\) (theo cạnh–góc vuông–cạnh, hay RHS).

Từ đó suy ra các góc nhọn ứng nhau bằng nhau:

\(\angle A D C = \angle E D A = \angle C F B = \angle D C B .\)

Vậy \(\angle D = \angle C\).

Do \(A B \parallel C D\) nên các cặp góc kề bù theo cùng phía tạo bởi cạnh bên thỏa:

\(\angle A + \angle D = 180^{\circ} , \angle B + \angle C = 180^{\circ} .\)

Mà \(\angle D = \angle C\) nên suy ra \(\angle A = \angle B\).

Kết luận: hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau và hai cạnh bên bằng nhau thì có hai góc kề mỗi đáy bằng nhau, nên là hình thang cân.

ASK CHATJPT