a)Vì Ax vuông góc với AC

Suy ra AM vuông góc với AC mà BM//AC

Suy ra AM vuông góc với BM

Chứng minh tương tự: suy ra AQ//BM và BM//AQ(cmt)

Suy ra AMBQ là hình bình hành 

Mà góc AMB= góc MBK= góc ABQ= góc MAQ= 90 độ

Suy ra AMBQ là hình chữ nhật 

b) Ta có AMPQ là hình chữ nhật mà AB cắt QM tại P 

Suy ra P là trung điểm AB và P là trung điểm QM

Ta có tam giác ABI vuông tại I có đường trung tuyến IP 

Suy ra IP=1/2AB 

Suy ra IP=PQ

Suy ra tam giác IPQ cân tại P

+ Xét tam giác ABC có đường trung tuyến BM và BM = 1/2 AC

Suy ra: tam giác ABC vuông tại B: góc B= 90 độ

Xét tứ giác ABCD có góc A=góc D=góc B=90 độ

Suy ra: tứ giác ABCD là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

I là trung điểm của AC ⇒ IA = IC.

E đối xứng với H qua I ⇒ IE = IH

⇒ AC ∩ HE = I là trung điểm của AC và HE

⇒ AHCE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết 4)

Lại có : Ĥ = 90º⇒

AHCE là hình chữ nhật (đpcm).

a) ABCD là hình bình hành.

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét Δ OAM và Δ OCP có :

góc OAM = góc OCP

OA = OC

góc AOM = góc COP

ΔOAM = ΔOCP

=>OM = OP

=>O là trung điểm của MP

Xét Δ OQD và Δ ONB có

góc ODQ = góc OBN ; OD = OB ; góc QOD = góc NOB

=> Δ OQD = Δ ONB

=> OQ = ON

=> O là trung điểm của QN

Xét tứ giác MNPQ có :

O là trung điểm chung của MP và NQ

=> MNPQ là hình bình hành.

b) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP ⊥ NQ nên là hình thoi.

Vì ABCD là hình bình hành => AB//CD, AD//BC

Tứ giác AMCN có AM=CN, AM//CN

Suy ra AMCN là hình bình hành(1)

Tứ giác AMND có AM=DN,AM//DN

Suy ra AMND là hình bình hành

Suy ra AD//MN mà AD vuông góc với AC 

Suy ra MN vuông góc với AC(2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Ta có ABCD là hình thoi nên AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên BD là trung trực của AC

Suy ra GA=GC,HA=HC (1)

Và AC là trung trực của BD

suy ra AG=AH,CG=CH (2)(2)

Từ (1),(2) suy ra AG=GC=CH=HA nên AGCH là hình thoi.