Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC

=> GM= GB/2 ; Gn = GC/2

MÀ P là trung điểm GC nên GP = PB = GB/2

G là trung điểm GC nên GQ = QC = GC/2 

Suy ra GM = GP và GN = GQ

Tứ giác PQMN có GM = GP và GN = GQ (cmt)

=> PQMN có đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên PQMN là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành Nên AD // BC; AD = BC

Do AD // BC nên góc ADB = góc CBD ( so le trong)

Xét tam giác ADH và tam gaics CBK có

Góc AHD = CKB

AD= BC (cmt)

Góc ADH = góc CBK ( do Góc ADB = Góc CBD)

Do đó tam giác ADH = tam giác CBK (ch-gn)

=> AH= CK

TA có Ah vuông góc với DB và CK vuông góc với DB nên AH // CK

Tứu giác AHCK có AH // Ck và AH = Ck nên AHCK là hbh

b) Vì AHCK là hbh nê đường chéo AC và HK cắt nhaut ại trung điểm mỗi đường

Mà I là trung điểm HK nên I là trung điểm AC

Do ABCD là hbh nên đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

MÀ I là trung điểm của AC nên I là trung điểm BD hay IB = ID

ABCD là hình bình hành

=> đường chéo AC, BD cắt nhau tại O nên OA=OC, OB=OD, AB=CD

AM//CN ( do AB//CD ) => góc OAM = góc OCN (so le trong )

xét tam giác OAM và tam giác OCN:

góc OAM = góc OCN (cmt)

OC = OC (cmt)

góc AOM = góc CON ( đối đỉnh )

=> tam giác OAM = tam giác OCN (gcg)

=> AM=CN

AB=CD (cmt)

AB= AM + BM

CD= CN + DN

do AB=CD, AM=CN

=> BM=DN

tứ giác MBND có:

BM // DN ( do AB // CD )

BM=DN(cmt)

=> tứ giác MBND là hình bình hành

a. Vì ABCD là hình bình hành => AB = CD; AB // CD.

hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

=> AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF ( AB // CD ); AE = DF (cmt).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF ( AB // CD ); AB = CF (cmt)

=> tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE, dựa vào tính chất hình bình hành

=> AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 gọi giao điểm AF và DE là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

a. ABCD là hình bình hành

=> AD=BC, AD//BC

E,F lần lượt là trung điểm của AD,BC

=> AE=ED= 1/2AD; BF=CF=1/2BC

=> DE=BF

Tứ giác EBFD có :

DE//BF ( do AD//BC )

DE=BF

=> EBFD là hình bình hành 

b. Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Mà O là

trung điểm của BD và O là trung điểm của EF.

=> ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a.ABCD là hình bình hành => AB=CD, AB//CD

- E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD => AE=BE=1/2AB; CF=DF=1/2CD

mà AB=CD

=> AE=BE=CF=DF

tứ giác AEFD có:

AE//DF ( do có AB//CD )

AE=DF (cmt)

=> tứ giác AEFD là một hình bình hành

tương tự với tứ giác AECF

=> tứ giác AECF là một hình bình hành

b. AEFD là hình bình hành => EF=AD

    AECF là hình bình hành => AF=EC