ΔABCΔ có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác.

⇒BG=2/3BM;GM=1/3BM(1)
Mà: PG=1/2BG=1/2
       2/3BM=1/3BM(2)
Từ (1), (2) suy ra GM = PG

Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN

Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Vì AH, CK vuông góc với BD

Suy ra AH// CK

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC:AD// BC

Xét ΔADH và ΔCBK ta có:

Góc AHD=góc CKB=90 độ
^AHK=^CKB=90∘ (gt)

AD=BC (cmt)

ˆADH=ˆCBK (do AD // BC)

Suy ra ΔADH=ΔCBK (cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra AH=CK (hai cạnh tương ứng)

Mà AH // CK (cmt)

Suy ra AHCK là hình bình hành

b) Vì AHCKlà hình bình hành

nên hai đường chéo HKvà AC cắt nhau tại trung điểm.

Mà I là trung điểm của HK
Suy ra I là trung điểm của AC
Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB=ID
 

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB,

suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD, từ đó AE // CF, AE = EB = DF = FC.

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF.

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC.