a). Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC

Do AD // BC nên góc ADB = góc CBD ( 2 góc so le trong)

Xét tam giác ABH và tam giác CBK có:

      Góc AHD = góc CKB = 90 độ

      AD = BC ( cm trên)

      Góc ADH = góc CBK ( Góc ADB = góc CBD )

Suy ra tam giác ABH = tam giác CBK ( Cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra AH = CK ( 2 cạnh tương ứng)

Ta có AH vuông góc với DB; CK vuông góc với DB nên AH // CK

Xét tứ giác AHCK có:

AH // CK ( cm trên )

AH = CK ( cm trên )

Do đó tứ giác AHCK là hình bình hành

b). Do AHCK là hình bình hành ( cm a) nên 2 đường chéo AH và CK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của HK (gt) nên I là trung điểm của AC

Vì ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD, hay IB = ID

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (gt) nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM = GB/2; GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (gt) nên GP = PB = GB/2 (2)

      Q là trung điểm của GC (gt) nên GQ = QC = GC/2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có:

GM = GP ( cm trên )

GN = GQ ( cm trên )

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

+. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OB: OC= OD

+. AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM = góc OCN ( 2 góc so le trong)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

     Góc OAM = góc OCN ( cm trên )

     OA = OC ( cm trên )

     Góc OAM = góc CON ( 2 góc đối đỉnh)

Suy ra tam giác AOM = tam giác OCN (g.c.g)

Suy ra AM = CN ( 2 cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD ( cm trên)

AB = AM +BM ; CD = CN + DN

Suy ra BM + DN

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN ( AB // CD)

BM = DN ( cm trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành