Ta có M = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁸

              = ( 3 + 3² ) + ( 3³ + 3⁴ ) + ... + ( 3¹⁷ + 3¹⁸ )

              = 3( 1 + 3 ) + 3³( 1 + 3 ) + ... + 3¹⁷( 1 + 3 )

              = 3 . 4 + 3³ . 4 + ... + 3¹⁷ . 4

              = 4( 3 + 3³ + ... + 3¹⁷ ) ⋮ 4

Vậy M ⋮ 4

Lại có M = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁸ 

               = ( 3 + 3² + 3³ ) + ( 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ ) + ... + ( 3¹⁶ + 3¹⁷ + 3¹⁸ )

               = 3( 1 + 3 + 3² ) + 3⁴( 1 + 3 + 3² ) + ... + 3¹⁷( 1 + 3 + 3² ) 

               = 3 . 13 + 3⁴ . 13 + ... + 3¹⁷ . 13

               = 13( 3 + 3⁴ + ... + 3¹⁷ ) ⋮ 13

Vậy M ⋮ 4 và 13

xy - 5x - 3y + 13 = 0

x( y - 5 ) - 3y = 0 - 13 = -13

x( y - 5 ) - 3y + 15 = -13 + 15 = 3

x( y - 5 ) - 3( y - 5 ) = 3

( x - 3 )( y - 5 ) = 3

Vì x; y nguyên nên x - 3 và y - 5 nguyên

Vậy x - 3; y - 5 ϵ Ư( 3 ) = { \(\pm1;\pm3\) }

Lập bảng giá trị

Vậy các cặp số nguyên ( x; y ) cần tìm để xy - 5x - 3y + 13 = 0 là ( 4; 8 ); ( 6; 6 ) ; ( 2; 2 ) ; ( 0; 4 )

Tổng của 2 số là 19 x 2 = 38

Số thứ nhất là ( 38 + 8 ) : 2 = 23

Số thứ hai là 23 - 8 = 15

cổng : gate

đền : temple

Đặt A = \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+...+\dfrac{2001}{3^{2001}}\)

3A = \(1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3^2}+...+\dfrac{2001}{3^{2000}}\)

3A - A = ( \(1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3^2}+...+\dfrac{2001}{3^{2000}}\) ) - ( \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+...+\dfrac{2001}{3^{2001}}\) )

2A = 1 + \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{2000}}-\dfrac{2001}{3^{2001}}\)

Đặt B = 1 + \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{2000}}\)

3B = 3 + 1 + \(\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{3^{1999}}\)

3B - B = ( 3 + 1 + \(\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{3^{1999}}\) ) - ( 1 + \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{2000}}\) )

2B = 3 - \(\dfrac{1}{3^{2000}}\) - 

B = \(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3^{2020}\cdot2}\)

Vậy 2A = \(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3^{2000}\cdot2}\) - \(\dfrac{2001}{3^{2001}}\) 

A = \(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3^{2000}\cdot2^2}-\dfrac{1}{3^{2001}\cdot2}< \dfrac{3}{4}\)

Mà \(\dfrac{3}{4}< \dfrac{4}{5}\)

Vậy A \(< \dfrac{4}{5}\)

y x 4 + 1/2 x y = 5

y x ( 4 + 1/2 ) = 5

y x 9/2 = 5

y = 5 : 9/2 = 10/9

( 1 + 3 + 5 + ... + 101 ) x ( 456456 x 135 - 135135 x 456 )

= ( 1 + 3 + 5 + ... + 101 ) x ( 456 x 1001 x 135 - 135 x 1001 x 456 )

= ( 1 + 3 + 5 + ... + 101 ) x 0 = 0

Vì x nguyên nên 2x - 5 và x - 4 nguyên

Ta có \(C=\dfrac{2x-5}{x-4}=\dfrac{2x-8+3}{x-4}=2+\dfrac{3}{x-4}\)

Để \(C=\dfrac{2x-5}{x-4}\) nguyên thì \(\dfrac{3}{x-4}\) nguyên

Vậy 3 ⋮ ( x - 4 ) hay ( x - 4 ) ϵ Ư( 3 ) = { -3; -1; 1; 3 }

Lập bảng giá trị 

Vậy x ϵ { 1; 3; 5; 7 } để \(C=\dfrac{2x-5}{x-4}\) nguyên

Đặt A = 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3⁹⁹

3A = 3³ + 3⁴ + 3⁵ + ... + 3¹⁰⁰

3A - A = ( 3³ + 3⁴ + 3⁵ + ... + 3¹⁰⁰ ) - ( 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3⁹⁹ )

2A = 3¹⁰⁰ - 3²

A = \(\dfrac{3^{100}-3^2}{2}\)

Nếu số lớn giảm đi 5 lần được số bé ⇒ số lớn gấp 5 lần số bé

Ta có sơ đồ

Số bé  !___! 
Số lớn !___!___!___!___!___! ( ngoặc tổng là 72 nha )

Số bé là 72 : ( 1 + 5 ) = 12

Số lớn là 72 - 12 = 60