Để tính biểu thức 285×32−285+62×285+285×7285×32−285+62×285+285×7 một cách thuận tiện nhất, ta có thể nhóm các hạng tử lại với nhau và sử dụng yếu tố chung là 285285.

Biểu thức ban đầu là:

Ta thấy rằng 285285 là yếu tố chung trong mỗi hạng tử. Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

Bây giờ, tính tổng trong dấu ngoặc:

Vậy biểu thức trở thành:

Tiếp tục nhóm 285285 ra ngoài:

Tính 101−1101−1:

Do đó, biểu thức trở thành:

Kết quả: 285×32−285+62×285+285×7=28500285×32−285+62×285+285×7=28500

Câu a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O).

• Giả thiết: Đường tròn (�)(O) có đường kính ��BC, và điểm �A nằm trên đường tròn (�)(O) (khác �B và �C).

Chứng minh:

• Trường hợp 1: Nếu �A nằm trên đường tròn (�)(O), ta cần chứng minh rằng tam giác ���ABC vuông tại �A.
• • Vì ��BC là đường kính của đường tròn (�)(O), theo định lý Pythagoras (định lý về góc vuông trong tam giác vuông nội tiếp đường tròn), ta có:Goˊc  ∠���=90∘Goˊc∠BAC=90∘Vì vậy, tam giác ���ABC là tam giác vuông tại �A.
• Trường hợp 2: Ngược lại, nếu tam giác ���ABC vuông tại �A, tức là ∠���=90∘∠BAC=90∘, thì theo định lý về góc vuông trong tam giác vuông nội tiếp đường tròn, ta có thể kết luận rằng điểm �A phải nằm trên đường tròn (�)(O).
• • Lý do: Để góc ∠���∠BAC là góc vuông, �B và �C phải là hai điểm nằm trên đường tròn với đường kính ��BC, và �A phải nằm trên đường tròn này.

Kết luận: Tam giác ���ABC là tam giác vuông tại �A nếu và chỉ nếu �A nằm trên đường tròn (�)(O).

Câu b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (�;��)(B;BO) với đường tròn (�)(O). Tính các góc của tam giác ���ABC.

• Giả thiết: �A là một trong hai giao điểm của đường tròn (�;��)(B;BO) với đường tròn (�)(O), tức là �A nằm trên đường tròn (�)(O) và �A là một điểm thuộc đường tròn có bán kính ��BO với tâm tại �B.

Giải:

• Vì �A là một giao điểm của hai đường tròn, ta có các mối quan hệ sau:
• • Đoạn ��BO là bán kính của đường tròn (�)(O), và ��BA là bán kính của đường tròn (�;��)(B;BO).
  • Tam giác ���ABC có đường kính ��BC, nên theo định lý về góc vuông, góc ∠���=90∘∠BAC=90∘.
  • Do đó, các góc còn lại trong tam giác ���ABC có thể tính như sau:
  • • Góc ∠���=∠���/2=90∘∠ABC=∠BOC/2=90∘.
    • Góc ∠���=90∘∠ACB=90∘.

Kết luận: Tam giác ���ABC là tam giác vuông tại �A, và các góc trong tam giác này đều có giá trị 90∘90∘.

Câu c) Với cùng giả thiết câu b), tính độ dài cung ��AC và diện tích hình quạt nằm trong (�)(O) giới hạn bởi các bán kính ��OA và ��OC, biết rằng ��=6BC=6 cm.

• Giả thiết: ��=6BC=6 cm và �A là một giao điểm của hai đường tròn.

Giải:

1. Độ dài cung ��AC:
2. • Vì tam giác ���ABC vuông tại �A và ��BC là đường kính của đường tròn (�)(O), góc ∠���=90∘∠BAC=90∘.
   • Vậy cung ��AC ứng với góc 90∘90∘ tại tâm �O, nghĩa là cung ��AC chiếm 1/4 của vòng tròn.
   • Đường kính ��=6BC=6 cm, nên bán kính ��=��=3OB=OC=3 cm.
   • Độ dài cung ��AC bằng 1441​ chu vi của đường tròn (�)(O), tức là:Độ daˋi cung  ��=14×2�×3=14×6�=3�2 cm.Độ daˋi cungAC=41​×2π×3=41​×6π=23π​cm.
3. Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính ��OA và ��OC:
4. • Diện tích hình quạt là diện tích của phần cung ��AC trong đường tròn (�)(O).
   • Diện tích của hình quạt được tính theo công thức:Diện tıˊch hıˋnh quạt=�360∘×��2,Diện tıˊch hıˋnh quạt=360∘θ​×πr2,trong đó �=90∘θ=90∘ là góc ở tâm, và bán kính �=3r=3 cm.Diện tıˊch hıˋnh quạt=90∘360∘×�×32=14×�×9=9�4 cm2.Diện tıˊch hıˋnh quạt=360∘90∘​×π×32=41​×π×9=49π​cm2.

Kết luận:

• Độ dài cung ��=3�2AC=23π​ cm.
• Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính ��OA và ��OC là 9�449π​ cm².

Câu d) Tiếp tuyến tại �C và �A cắt nhau tại �D. Đoạn ��BA cắt ��CD tại �F, vẽ ��AH vuông góc với ��BC tại �H, ��AH cắt ��BD tại �K. Chứng minh rằng ��=��HK=KA.

• Giả thiết: Đoạn ��BA cắt ��CD tại �F, vẽ ��AH vuông góc với ��BC tại �H, và ��AH cắt ��BD tại �K.

Giải:

• Vì ��AH vuông góc với ��BC, ta có ∠���=90∘∠AHB=90∘.
• Do các đoạn thẳng và góc vuông tạo thành, ta có thể sử dụng tính chất các đoạn phân giác và vuông góc trong tam giác vuông.
• Cách dễ nhất để chứng minh ��=��HK=KA là sử dụng định lý về đoạn phân giác trong tam giác vuông, trong đó điểm �K sẽ chia đoạn ��AH thành hai đoạn có độ dài bằng nhau, do đó ��=��HK=KA.

Kết luận: ��=��HK=KA.

Bài toán yêu cầu tìm tất cả các cặp số nguyên �x và �y sao cho phương trình:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau.

Bước 1: Biến đổi phương trình

Phương trình đã cho là:

Chúng ta chuyển các hạng tử về một phía để dễ dàng làm việc:

Bước 2: Thử một số giá trị của �y

Vì bài toán yêu cầu tìm tất cả các số nguyên �x và �y, một phương pháp đơn giản là thử các giá trị của �y và tìm giá trị tương ứng của �x.

Trường hợp 1: �=0y=0

Khi �=0y=0, phương trình trở thành:

Vậy, khi �=0y=0, ta có �=1x=1. Do đó, cặp (�,�)=(1,0)(x,y)=(1,0) là một nghiệm.

Trường hợp 2: �=1y=1

Khi �=1y=1, phương trình trở thành:

Do �x không phải là số nguyên, ta không có nghiệm trong trường hợp này.

Trường hợp 3: �=−1y=−1

Khi �=−1y=−1, phương trình trở thành:

Vậy, khi �=−1y=−1, ta có �=−7x=−7. Do đó, cặp (�,�)=(−7,−1)(x,y)=(−7,−1) là một nghiệm.

Trường hợp 4: �=2y=2

Khi �=2y=2, phương trình trở thành:

Do �x không phải là số nguyên, ta không có nghiệm trong trường hợp này.

Trường hợp 5: �=−2y=−2

Khi �=−2y=−2, phương trình trở thành:

Do �x không phải là số nguyên, ta không có nghiệm trong trường hợp này.

Bước 3: Tổng kết nghiệm

Sau khi thử một số giá trị của �y, ta tìm được các cặp nghiệm nguyên sau:

Kết luận:

Tất cả các cặp số nguyên (�,�)(x,y) thỏa mãn phương trình �+6�+2��−1=0x+6y+2xy−1=0 là:

Để giải bài toán này, ta cần chuyển các đơn vị sang cùng một đơn vị là kilogram và tính tổng số hàng mà ba xe chở được.

Bước 1: Chuyển các đơn vị sang kilogram

• Xe thứ nhất chở được 4 tấn 3 tạ.
• • 1 tấn = 1000 kg, 1 tạ = 100 kg.
  • Vậy, xe thứ nhất chở được:4 taˆˊn=4×1000=4000 kg4 taˆˊn=4×1000=4000 kg3 tạ=3×100=300 kg3 tạ=3×100=300 kgTổng số hàng xe thứ nhất chở được là:4000 kg+300 kg=4300 kg4000 kg+300 kg=4300 kg
• Xe thứ hai chở được nhiều hơn xe thứ nhất 700 kg. Vậy, xe thứ hai chở được:
  4300 kg+700 kg=5000 kg4300 kg+700 kg=5000 kg
• Xe thứ ba chở được số hàng gấp đôi xe thứ nhất, tức là:
  2×4300 kg=8600 kg2×4300 kg=8600 kg

Bước 2: Tính tổng số hàng ba xe chở được

Tổng số hàng mà ba xe chở được là:

Kết luận:

Cả ba xe chở được tổng cộng 17,900 kg hàng.

Để kết nối các câu trong đoạn văn trên, ta có thể sử dụng các từ nối phù hợp để làm cho câu văn mạch lạc và hợp lý hơn. Một số từ nối mà bạn có thể dùng trong trường hợp này là:

• Vì vậy: Được dùng để chỉ ra mối quan hệ nguyên nhân - kết quả.
• Và: Để nối các câu đơn giản lại với nhau.
• Thế nên: Cũng có thể sử dụng để nối câu theo hướng lý giải.

Cách kết nối câu:

• "Đứng ngắm cây sầu riêng, tôi cứ nghĩ mãi về giống cây kỳ lạ này vì vậy thân nó khẳng khiu, cao vút, cành ngang thẳng đuội."
• "Đứng ngắm cây sầu riêng, tôi cứ nghĩ mãi về giống cây kỳ lạ này, và thân nó khẳng khiu, cao vút, cành ngang thẳng đuội."

Cả hai cách trên đều giúp câu văn trở nên liên kết mạch lạc và dễ hiểu hơn.

Chúng ta có biểu thức sau:

và

a) Xác định tổng A

Biểu thức �A là tổng của các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �3024a3024:

Đây là một tổng có dạng tổng của các lũy thừa của �a, có thể viết lại như sau:

b) Xác định tổng B

Biểu thức �B là tổng các số có dạng ��ak, trong đó chỉ các lũy thừa của �a có chỉ số chia hết cho 4, tức là:

Chúng ta nhận thấy đây là một chuỗi với các lũy thừa của �a có chỉ số dạng 4�+14k+1, từ �=0k=0 đến một giá trị nhất định. Để hiểu rõ hơn, ta có thể viết lại tổng này dưới dạng của một chuỗi:

c) Chứng minh �A chia hết cho �B

Để chứng minh �A chia hết cho �B, chúng ta cần chỉ ra rằng �A có thể được viết dưới dạng một bội số của �B.

Ta biết rằng mỗi lũy thừa trong �A đều có dạng ��ak với �k chạy từ 1 đến 3024. Còn trong �B, các chỉ số mũ là 4�+14k+1, do đó các mũ này nằm trong một dãy con của các mũ trong �A.

Cụ thể hơn, �B bao gồm các số có dạng �1,�5,�9,…,�2021a1,a5,a9,…,a2021, tức là các mũ theo công thức 4�+14k+1. Mỗi số trong �A đều là một bội số của �1,�5,�9,…a1,a5,a9,…. Do đó, �A có thể được chia cho �B mà không dư.

Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh rằng �A chia hết cho �B, tức là �÷�A÷B là một số nguyên.

Để giải quyết bài toán, ta sẽ phân tích chuỗi các chữ cái được tô màu theo quy luật:

Chuỗi chữ cái: DAYTOTHOCTOTDAYTOTHOCTOT...

Mỗi từ gồm 3 chữ cái, với quy luật tô màu:

1. DAY được tô màu xanh (D = xanh, A = xanh, Y = xanh)
2. TOT được tô màu đỏ (T = đỏ, O = đỏ, T = đỏ)
3. HOC được tô màu tím (H = tím, O = tím, C = tím)

Như vậy, ba từ liên tiếp gồm DAY (màu xanh), TOT (màu đỏ), và HOC (màu tím) sẽ được lặp lại liên tục. Mỗi nhóm ba từ này có tổng cộng 9 chữ cái, được tô theo thứ tự màu xanh, đỏ, tím.

Bước 1: Xác định vị trí chữ cái thứ 2024 trong chuỗi

Mỗi chu kỳ lặp lại gồm 9 chữ cái. Vậy chúng ta cần tính số lần chu kỳ này lặp lại và vị trí chữ cái thứ 2024.

• Đầu tiên, chia 2024 cho 9 để biết chữ cái thứ 2024 nằm ở đâu trong chu kỳ:2024÷9=224 dư 82024÷9=224 dư 8

Điều này có nghĩa là chữ cái thứ 2024 nằm ở vị trí thứ 8 trong chu kỳ.

Bước 2: Tìm màu của chữ cái thứ 8 trong chu kỳ

Xem xét thứ tự trong mỗi chu kỳ gồm 9 chữ cái:

• Chữ 1 đến 3: Màu xanh (DAY)
• Chữ 4 đến 6: Màu đỏ (TOT)
• Chữ 7 đến 9: Màu tím (HOC)

Chữ cái thứ 8 thuộc vị trí trong nhóm HOC, và nhóm này được tô màu tím.

Kết luận:

Chữ cái thứ 2024 được tô màu tím.

Đề bài:

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

Lời giải:

• Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
  ��⊥��vaˋ��⊥��AB⊥OBvaˋAC⊥OC
• Gọi H là giao điểm của OA và BC.
• Ta sẽ chứng minh ��⊥��OA⊥BC tại H bằng cách chứng minh rằng góc ∠���=∠���+∠���=90∘∠OAH=∠OAB+∠OAC=90∘.
  Các bước chứng minh:
• 1. Xét tam giác ���OAB, vì ��⊥��AB⊥OB, nên ta có ∠���=90∘∠OAB=90∘.
  2. Tương tự, xét tam giác ���OAC, vì ��⊥��AC⊥OC, ta có ∠���=90∘∠OAC=90∘.
  3. Ta thấy rằng ��∥��AB∥AC, vì cả hai đều là tiếp tuyến tại B và C, và ��OA là đường nối từ A ra ngoài đường tròn.
  4. Vậy, từ tính chất tiếp tuyến của đường tròn và tính chất của góc tại điểm ngoài đường tròn, ta có thể kết luận rằng:��⊥��tại �.OA⊥BCtạiH.Đây chính là kết quả cần chứng minh.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D). Chứng minh: ��⋅��=��⋅��AE⋅AD=AH⋅AO.

Lời giải:

• Ta có: ��BD là đường kính của đường tròn (O), do đó ∠���=90∘∠BCD=90∘ (theo định lý đường kính vuông góc với đường tròn tại mọi điểm trên đường tròn).
• Cả ba điểm A, B, C nằm trên một mặt phẳng, và ��BD là đường kính, nên ��BD chia đường tròn thành hai nửa, và ��AE cắt lại tại E.

Chứng minh:

1. Xét tam giác vuông ���AHD, do ��⊥��AH⊥BC (theo phần a), ta có:��2=��⋅��AH2=AE⋅AD
2. Từ đó, ta áp dụng định lý Thales cho tỉ số cạnh của tam giác vuông ���AHD với các đoạn tiếp tuyến:��⋅��=��⋅��AE⋅AD=AH⋅AOĐiều này chứng minh được mối quan hệ cần thiết.

Kết luận:

• Cả hai phần a và b đều đã được chứng minh dựa trên các tính chất của tiếp tuyến và định lý liên quan đến các đường kính và đoạn thẳng trong hình học Euclid.

Để so sánh hai biểu thức sau:

và

Bước 1: Xem xét mức độ phát triển của các biểu thức

1. Biểu thức �=(22004+32004)2005A=(22004+32004)2005:
2. • Biểu thức này có cấu trúc (22004+32004)(22004+32004), và cả hai phần 2200422004 và 3200432004 đều là các số rất lớn. Tuy nhiên, do 3200432004 lớn hơn 2200422004, nên tổng 22004+3200422004+32004 chủ yếu bị chi phối bởi 3200432004.
   • Vậy ta có thể ước lượng 22004+32004≈3200422004+32004≈32004. Do đó, �A có thể ước tính như sau:�≈(32004)2005=32004×2005=34020020.A≈(32004)2005=32004×2005=34020020.
3. Biểu thức �=(22003+32005)2004B=(22003+32005)2004:
4. • Biểu thức này có cấu trúc (22003+32005)(22003+32005), và vì 3200532005 lớn hơn 2200322003, tổng 22003+3200522003+32005 sẽ chủ yếu bị chi phối bởi 3200532005.
   • Vậy ta cũng có thể ước lượng 22003+32005≈3200522003+32005≈32005. Do đó, �B có thể ước tính như sau:�≈(32005)2004=32005×2004=34020020.B≈(32005)2004=32005×2004=34020020.

Bước 2: So sánh �A và �B

Dựa vào các bước ước lượng trên, ta thấy rằng cả hai biểu thức �A và �B đều có dạng 3402002034020020, với các phép toán chỉ thay đổi ở phần số mũ nhỏ hơn. Tuy nhiên, do sự khác biệt trong cách thức cộng và nhân trong biểu thức ban đầu, sự khác biệt giữa chúng không lớn. Do đó, ta có thể suy ra rằng �A và �B có giá trị rất gần nhau, nhưng ta không thể kết luận chúng hoàn toàn bằng nhau mà không tính toán chi tiết hơn.

Kết luận:

Cả hai biểu thức �A và �B có giá trị rất gần nhau, nhưng từ phương pháp trên, ta có thể thấy rằng chúng có khả năng xấp xỉ nhau.

Để tìm �∈�x∈N (là tập hợp các số tự nhiên) thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Điều kiện a: 4�+174x+17 chia hết cho �+3x+3

Chúng ta sẽ dùng phép chia số học để giải bài toán này.

Chia 4�+174x+17 cho �+3x+3. Ta sẽ thực hiện phép chia:

Để thực hiện phép chia, ta chia 4�4x cho �x, ta được 4. Sau đó nhân 4 với �+3x+3, ta có 4(�+3)=4�+124(x+3)=4x+12.

Giờ ta trừ (4�+17)−(4�+12)(4x+17)−(4x+12) ta được:

Vậy kết quả của phép chia là:

Để 4�+17�+3x+34x+17​ là một số nguyên, phần dư 5�+3x+35​ phải chia hết, tức là �+3x+3 phải là ước của 5. Các ước của 5 là ±1±1 và ±5±5, vì vậy:

• �+3=1⇒�=−2x+3=1⇒x=−2, nhưng �∈�x∈N nên loại.
• �+3=5⇒�=2x+3=5⇒x=2.
• �+3=−1⇒�=−4x+3=−1⇒x=−4, nhưng �∈�x∈N nên loại.
• �+3=−5⇒�=−8x+3=−5⇒x=−8, nhưng �∈�x∈N nên loại.

Vậy �=2x=2 là nghiệm duy nhất trong �N.

2. Điều kiện b: 5�+275x+27 chia hết cho �+4x+4

Tương tự như bài a, ta chia 5�+275x+27 cho �+4x+4. Ta thực hiện phép chia:

Chia 5�5x cho �x, ta được 5. Sau đó nhân 5 với �+4x+4, ta có 5(�+4)=5�+205(x+4)=5x+20.

Giờ ta trừ (5�+27)−(5�+20)(5x+27)−(5x+20) ta được:

Vậy kết quả của phép chia là:

Để 5�+27�+4x+45x+27​ là một số nguyên, phần dư 7�+4x+47​ phải chia hết, tức là �+4x+4 phải là ước của 7. Các ước của 7 là ±1±1 và ±7±7, vì vậy:

• �+4=1⇒�=−3x+4=1⇒x=−3, nhưng �∈�x∈N nên loại.
• �+4=7⇒�=3x+4=7⇒x=3.
• �+4=−1⇒�=−5x+4=−1⇒x=−5, nhưng �∈�x∈N nên loại.
• �+4=−7⇒�=−11x+4=−7⇒x=−11, nhưng �∈�x∈N nên loại.

Vậy �=3x=3 là nghiệm duy nhất trong �N.

Kết luận:

• Với điều kiện a, �=2x=2.
• Với điều kiện b, �=3x=3.