Xét $\Delta PMN$ có $AB$ // $MN$ (gt) 

Suy ra ABMN=APPMMNAB​=PMAP​ (hệ quả định lí Thalès).

Thay số: ABMN=APAP+AM=33+4=37⇒MN7=AB3MNAB​=AP+AMAP​=3+43​=73​⇒7MN​=3AB​.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: MN7=AB3=MN−AB7−3=84=27MN​=3AB​=7−3MN−AB​=48​=2

Suy ra $MN=2.7=14$ cm; $AB=2.3=6$ cm.

Vậy $MN=14$ cm; $AB=6$ cm.

2

a) Xét $\Delta ADB$ có $AE$ là phân giác trong của đỉnh $A$ (gt) suy ra BEED=ABADEDBE​=ADAB​ (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét $\Delta BAC$ có $BF$ là phân giác trong của đỉnh $B$ (gt) suy ra FAFC=ABBCFCFA​=BCAB​ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Thêm nữa $AD=BC$ (do $ABCD$ là hình bình hành) suy ra BEED=FAFCEDBE​=FCFA​.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Từ câu a ta có: BEED=FAFCEDBE​=FCFA​ suy ra BE+EDED=FA+FCFCEDBE+ED​=FCFA+FC​

⇒DBED=ACFC⇒2ODED=2OCFC⇒ODED=OCFC⇒EDDB​=FCAC​⇒ED2OD​=FC2OC​⇒EDOD​=FCOC​

Xét $\Delta ODC$ có: ODED=OCFCEDOD​=FCOC​ (cmt) suy ra $EF$ // $CD$ (định lí Thalès đảo)

Vậy ta có điều phải chứng minh.