Cho hình bình hành \(A B C D\), ta làm rõ các giả thiết và chứng minh từng phần:

Giả thiết:

• \(A B C D\) là hình bình hành.
• \(B\) là trung điểm của đoạn \(A M\) \(\Rightarrow \overset{⃗}{B} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{M}}{2}\).
• \(C\) là trung điểm của đoạn \(D N\) \(\Rightarrow \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{N}}{2}\).

Câu a) Chứng minh tứ giác \(A M N D\) là hình bình hành

Cách làm (dùng vectơ):

Ta cần chứng minh: Hai cặp cạnh đối của tứ giác \(A M N D\) song song và bằng nhau, hoặc một cách đơn giản hơn là chứng minh:

\(\overset{⃗}{A M} = \overset{⃗}{D N}\)

Bước 1: Từ \(B\) là trung điểm của \(A M\), ta có:

\(\overset{⃗}{M} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A}\)

Bước 2: Từ \(C\) là trung điểm của \(D N\), ta có:

\(\overset{⃗}{N} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D}\)

Tính \(\overset{⃗}{A M}\) và \(\overset{⃗}{D N}\)

• \(\overset{⃗}{A M} = \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{A} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} \left.\right) - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{B} - 2 \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{A B}\)
• \(\overset{⃗}{D N} = \overset{⃗}{N} - \overset{⃗}{D} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} \left.\right) - \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C D}\)

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên: \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{C D}\)

\(\Rightarrow \overset{⃗}{A M} = 2 \overset{⃗}{A B} = 2 \overset{⃗}{C D} = \overset{⃗}{D N}\)

Kết luận: \(\overset{⃗}{A M} = \overset{⃗}{D N} \Rightarrow A M \parallel D N\) và \(A M = D N\)

Tương tự, cũng có thể chứng minh \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{M N}\)

Suy ra tứ giác \(A M N D\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, vậy là hình bình hành.

Câu b) Chứng minh các trung điểm của \(A N\), \(D M\), \(B C\) trùng nhau

Gọi \(I_{1} , I_{2} , I_{3}\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(A N , D M , B C\)

Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm:

• Trung điểm của \(A N\):

\(I_{1} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{N}}{2} = \frac{\overset{⃗}{A} + \left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} \left.\right)}{2} = \frac{\overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{D}}{2} + \overset{⃗}{C}\)

• Trung điểm của \(D M\):

\(\overset{⃗}{M} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} , \Rightarrow I_{2} = \frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{M}}{2} = \frac{\overset{⃗}{D} + \left(\right. 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} \left.\right)}{2} = \frac{- \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2} + \overset{⃗}{B}\)

• Trung điểm của \(B C\):

\(I_{3} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2}\)

Bước 2: So sánh \(I_{1} , I_{2} , I_{3}\)

Ta sẽ chứng minh chúng bằng nhau.

So sánh \(I_{1}\) và \(I_{3}\):

Từ giả thiết hình bình hành:

• \(\overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{A D}\)
• \(\overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{D} + \left(\right. \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{D} \left.\right) = \overset{⃗}{A}\)

Nhưng thay cách tiếp cận: ta chứng minh bằng hình học thay vì tính tọa độ:

Cách khác – Hình học trực tiếp:

• Gọi \(I\) là trung điểm của \(B C\).
• Ta đã có \(B\) là trung điểm của \(A M\) \(\Rightarrow\) \(A M\) là đường trung vị trong tam giác \(A N M\)
• Tương tự, \(C\) là trung điểm của \(D N\), nên \(D N\) là đường trung vị.

Suy ra:

• Trung điểm của \(A N\), \(D M\) và \(B C\) đều nằm ở giao điểm của các đường trung vị → trùng nhau.

✅ Kết luận:

• a) Tứ giác \(A M N D\) là hình bình hành vì \(\overset{⃗}{A M} = \overset{⃗}{D N}\)
• b) Các trung điểm của \(A N\), \(D M\), và \(B C\) trùng nhau

Nếu bạn cần hình vẽ minh họa hoặc chứng minh theo tọa độ cụ thể, mình có thể bổ sung!

1.

456 - (18 ÷ 6) - 452

Bước 1:
18 ÷ 6 = 3

Biểu thức trở thành:
456 - 3 - 452

Bước 2:
456 - 3 = 453

Bước 3:
453 - 452 = 1

✅ Kết quả: 1

2.

200 ÷ (100 ÷ 4)

Bước 1:
100 ÷ 4 = 25

Biểu thức trở thành:
200 ÷ 25

Bước 2:
200 ÷ 25 = 8

✅ Kết quả: 8

Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\sum_{n = 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} < 1\)

✅ Hướng tiếp cận:

• Tổng \(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449\)
• Do đó:

\(\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} - 1 \approx 0.6449\)

• Và:

\(\sum_{n = 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} < \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \approx 0.6449 < 1\)

⏹ Vậy ta đã chứng minh xong:

\(\sum_{n = 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} < 1\)

🔍 Có thể kiểm tra gần đúng bằng máy tính:

Tính:

\(\sum_{n = 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} \approx 0.634\)

➡️ Vẫn < 1.

✅ Kết luận:

\(\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \hdots + \frac{1}{100^{2}} < 1\)

Đã được chứng minh.

Ok bro, mình cùng giải bài toán này từ từ cho dễ hiểu nha:

✅ Đề bài:

Tam giác ABC bằng tam giác DEF, tức là:

\(\triangle A B C \cong \triangle D E F\)

Biết:

• Góc A = 60°
• Góc E = 80°

Yêu cầu: Tính các góc B, C, D, F

🔍 Phân tích:

Vì hai tam giác bằng nhau (≅), nên các góc tương ứng bằng nhau, tức là:

\(\angle A = \angle D \angle B = \angle E \angle C = \angle F\)

🧠 Áp dụng:

Biết:

• \(\angle A = 60^{\circ} \Rightarrow \angle D = 60^{\circ}\)
• \(\angle E = 80^{\circ} \Rightarrow \angle B = 80^{\circ}\)

Trong tam giác ABC, tổng 3 góc = 180°, nên:

\(\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 80^{\circ} = \boxed{40^{\circ}} \Rightarrow \angle F = \angle C = \boxed{40^{\circ}}\)

✅ Kết quả:

Cần mình vẽ hình minh họa không bro?

bằng 2 -1+1

Ok bro, tóm gọn lại:

Đề bài:

• 1/3 quãng đường: đi với \(v_{1} = 45\) km/h
• 2/3 còn lại:
• • 2/3 thời gian với \(v_{2} = 55\) km/h
  • 1/3 thời gian với \(v_{3} = ?\)
• Vận tốc trung bình: \(v_{t b} = 48\) km/h

Giải nhanh:

Gọi quãng đường \(S\), tổng thời gian:

• \(t_{1} = \frac{S}{135}\)
• \(t_{2} = \frac{29 S}{2160}\)

Tính quãng đường đoạn 2 theo \(v_{2}\), \(v_{3}\):

\(\frac{2}{3} S = \left(\right. \frac{110 + v_{3}}{3} \left.\right) \cdot \frac{29 S}{2160}\)

Rút gọn:

\(\left(\right. 110 + v_{3} \left.\right) \cdot \frac{29}{2160} = \frac{2}{3} \Rightarrow 110 + v_{3} = \frac{4320}{29} \approx 148.97 \Rightarrow v_{3} \approx 39 \&\text{nbsp};\text{km}/\text{h}\)

✅ Đáp số:

\(\boxed{v_{3} \approx 39 \&\text{nbsp};\text{km}/\text{h}}\)

tích cho mk đi bro

Ok bro, mấy câu này là giải phương trình dạng lập phương kiểu:

\(\left(\right. x - a \left.\right)^{3} = b \Rightarrow x = a + \sqrt[3]{b}\)

Tớ sẽ giải lần lượt từng câu cho gọn gàng nha:

a/

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)^{3} = - 8\)

\(x - \frac{1}{2} = \sqrt[3]{- 8} = - 2 \Rightarrow x = - 2 + \frac{1}{2} = \boxed{- \frac{3}{2}}\)

1. \(\left(\right. x - \frac{5}{2} \left.\right)^{3} = - \frac{1}{8}\)

\(x - \frac{5}{2} = \sqrt[3]{- \frac{1}{8}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \boxed{2}\)

b/

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{3} \left.\right)^{3} = \frac{27}{8}\)

\(x - \frac{1}{3} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6} \Rightarrow \boxed{x = \frac{11}{6}}\)

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{8} \left.\right)^{3} = - \frac{8}{125}\)

\(x - \frac{1}{8} = \sqrt[3]{- \frac{8}{125}} = - \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{8} - \frac{2}{5} = \boxed{- \frac{11}{40}}\)

c/

\(\left(\right. x - \frac{5}{2} \left.\right)^{3} = - \frac{8}{27}\)

\(x - \frac{5}{2} = \sqrt[3]{- \frac{8}{27}} = - \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{15 - 4}{6} = \boxed{\frac{11}{6}}\)

d/

\(\left(\right. x - \frac{1}{3} \left.\right)^{3} = \frac{8}{27}\)

\(x - \frac{1}{3} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \boxed{1}\)

✅ Tóm tắt đáp án:

Có cần mình hướng dẫn cách bấm máy tính để ra nhanh hơn không bro?

Ok bro, mấy câu này là giải phương trình dạng lập phương kiểu:

\(\left(\right. x - a \left.\right)^{3} = b \Rightarrow x = a + \sqrt[3]{b}\)

Tớ sẽ giải lần lượt từng câu cho gọn gàng nha:

a/

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)^{3} = - 8\)

\(x - \frac{1}{2} = \sqrt[3]{- 8} = - 2 \Rightarrow x = - 2 + \frac{1}{2} = \boxed{- \frac{3}{2}}\)

1. \(\left(\right. x - \frac{5}{2} \left.\right)^{3} = - \frac{1}{8}\)

\(x - \frac{5}{2} = \sqrt[3]{- \frac{1}{8}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \boxed{2}\)

b/

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{3} \left.\right)^{3} = \frac{27}{8}\)

\(x - \frac{1}{3} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6} \Rightarrow \boxed{x = \frac{11}{6}}\)

1. \(\left(\right. x - \frac{1}{8} \left.\right)^{3} = - \frac{8}{125}\)

\(x - \frac{1}{8} = \sqrt[3]{- \frac{8}{125}} = - \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{8} - \frac{2}{5} = \boxed{- \frac{11}{40}}\)

c/

\(\left(\right. x - \frac{5}{2} \left.\right)^{3} = - \frac{8}{27}\)

\(x - \frac{5}{2} = \sqrt[3]{- \frac{8}{27}} = - \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{15 - 4}{6} = \boxed{\frac{11}{6}}\)

d/

\(\left(\right. x - \frac{1}{3} \left.\right)^{3} = \frac{8}{27}\)

\(x - \frac{1}{3} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \boxed{1}\)

✅ Tóm tắt đáp án:

Có cần mình hướng dẫn cách bấm máy tính để ra nhanh hơn không bro?

Dĩ nhiên rồi bro! Đây là bài văn kể chuyện – nhập vai nhân vật trong truyện Tấm Cám, và tớ sẽ nhập vai Cám – người thường bị xem là phản diện, nhưng lần này sẽ kể từ góc nhìn của Cám, để câu chuyện có chiều sâu hơn nhé.

💬 Tôi là Cám – người mang tiếng ác

Tôi là Cám. Từ nhỏ, tôi đã sống trong cảnh thiếu thốn tình cảm, dù có mẹ bên cạnh, nhưng mẹ tôi luôn lo tính toán, đấu đá với đời. Tôi không hiểu sao mẹ lúc nào cũng ghen tức với Tấm – đứa con riêng của cha dượng, và bắt tôi phải hơn nó mọi mặt.

Tôi biết mình không hiền như Tấm. Tấm ngoan, dịu dàng, cái gì cũng giỏi, ai cũng thương. Còn tôi – vụng về, ham chơi, lại bị mẹ bao bọc thái quá nên chẳng ai yêu quý. Nhưng... tôi có lỗi không, hay chỉ vì tôi là con của người mẹ ấy?

Hôm đó, mẹ sai tôi cùng Tấm đi bắt tép. Tôi biết mình không thể bắt giỏi như Tấm, nên khi mẹ xúi lấy giỏ tép của chị, tôi đã làm theo. Lúc ấy tôi không nghĩ nhiều, chỉ mong được mẹ khen. Chỉ sau này tôi mới hiểu, mình đã cướp đi công sức của người khác. Đó là lần đầu tôi thấy ánh mắt buồn của Tấm – mà sau này, tôi không bao giờ quên được.

Rồi bao chuyện xảy ra: chị Tấm được vua chọn làm hoàng hậu, tôi thấy lòng mình dậy sóng. Không phải vì ghen, mà là vì tôi thấy chị đã đi xa quá rồi – cao sang quá, khiến tôi như cái bóng mờ nhạt. Mẹ tôi thì không chịu thua, bà lập kế giết Tấm, bắt tôi thế chỗ vào cung.

Tôi đã sống trong cung một thời gian, khoác áo gấm lụa, ăn sơn hào hải vị… nhưng đêm đêm, tôi không ngủ được. Những chim vàng anh, cây xoan đào, khung cửi… như có hồn, như lời thì thầm trách móc. Tôi thấy sợ… không phải sợ Tấm, mà sợ chính mình – con người đã im lặng để mặc sai trái.

Và rồi, Tấm trở về – rực rỡ, đàng hoàng. Chị không còn là cô gái yếu đuối ngày xưa nữa. Tôi đứng đó, trong lòng đầy hối hận và lo sợ. Tôi biết, cái giá của việc cướp đi hạnh phúc của người khác, sớm muộn gì cũng phải trả.

📌 Kết bài:

Giờ đây, nếu được làm lại, tôi muốn sống khác. Không ganh đua, không mưu mô, không nghe lời mẹ mà hại người. Nhưng quá khứ là thứ không thể xoá, tôi chỉ mong – ai đó hiểu rằng, đôi khi người ta trở nên xấu không phải vì họ muốn vậy, mà vì họ chưa từng được dạy điều tốt.

Nếu bro cần nhập vai Tấm, dì ghẻ, hay nhà vua, mình cũng có thể viết luôn nhé.