

🍌꧁༺PⒽⓄⓃⒼ༻꧂🍌
Giới thiệu về bản thân



































Giả sử mỗi mảnh đất hình chữ nhật ở góc có một cạnh là \(3\) m, cạnh còn lại bằng \(x\) (chiều cạnh vườn).
Tổng diện tích 4 hình chữ nhật là:
\(4 \times \left(\right. 3 \times x \left.\right) = 60\) \(12 x = 60 \Rightarrow x = 5 \&\text{nbsp};(\text{m})\)
Kết quả:
\(\boxed{x=5\text{m}}\)
Câu c)
\(7^{x + 1} + 7^{x} = 8 \times 7^{5}\)
Bước 1: Đặt \(7^{x} = a\)
\(7^{x + 1} = 7 \cdot 7^{x} = 7 a\)
Bước 2: Thay vào phương trình
\(7 a + a = 8 \times 7^{5}\) \(8 a = 8 \times 7^{5}\)
Bước 3: Chia cả hai vế cho 8
\(a = 7^{5}\)
Bước 4: Trả lại \(a = 7^{x}\)
\(7^{x} = 7^{5} \Rightarrow x = 5\)
✅ Kết quả: \(x = 5\)
Câu d)
\(11^{x + 3} + 11^{x + 2} = 12 \times 11^{10}\)
Bước 1: Đặt \(11^{x} = b\)
\(11^{x + 3} = 11^{3} \cdot 11^{x} = 1331 b\) \(11^{x + 2} = 11^{2} \cdot 11^{x} = 121 b\)
Bước 2: Thay vào phương trình
\(1331 b + 121 b = 12 \times 11^{10}\) \(1452 b = 12 \times 11^{10}\)
Bước 3: Chia cả hai vế cho 1452
Trước hết:
\(1452 = 12 \times 121\)
nên:
\(b = \frac{12 \times 11^{10}}{12 \times 121} = \frac{11^{10}}{11^{2}} = 11^{8}\)
Bước 4: Trả lại \(b = 11^{x}\)
\(11^{x} = 11^{8} \Rightarrow x = 8\)
✅ Kết quả: \(x = 8\)
Vấn đề ở đây là bạn cộng sai loại tiền:
- Lúc đầu: Bạn mượn mẹ 50k + bố 50k = 100k.
- Mua áo 97k, còn 3k.
- Trả mẹ 1k, trả bố 1k ⇒ còn nợ mẹ 49k, bố 49k (tổng nợ 98k).
- Bạn giữ 1k tiền mặt.
Điểm mấu chốt: 98k này đã bao gồm cả 1k bạn giữ (98k nợ + 1k bạn giữ = 99k), và 99k đó chính là giá trị của cái áo 97k + 2k đã trả cho bố mẹ.
Không có “mất” 1k nào hết, chỉ là cách bạn cộng “nợ” với “tiền mình có” là vô lý.
Đúng công thức phải là:
97k (áo) + 1k (tiền giữ) + 2k (trả cho bố mẹ) = 100k ban đầu.
Bản chất vấn đề:
- \(11^{2} = 121\).
- \(3^{39}\) là một con số khổng lồ, cực kỳ lớn luôn, gấp rất nhiều lần 121.
So sánh nhanh:
- \(3^{5} = 243 > 121\), tức là chỉ cần 3 mũ 5 thôi đã vượt 11 mũ 2 rồi.
- Mà bạn hỏi \(3^{39}\), nó là \(3^{5}\) mũ 7 hơn, tức \(243^{7}\), to tướng không thể tưởng tượng nổi.
Kết luận:
\(\boxed{3^{39} \gg 11^{2}} .\)
Chứng minh:
\(\left(\left(\right.\frac{1}{3}\left.\right)\right)^2+\left(\left(\right.\frac{1}{6}\left.\right)\right)^2+\left(\left(\right.\frac{1}{9}\left.\right)\right)^2+\ldots+\left(\left(\right.\frac{1}{300}\left.\right)\right)^2<\frac{2}{9}.\)
Nói cách khác:
\(\sum_{k = 1}^{100} \left(\left(\right. \frac{1}{3 k} \left.\right)\right)^{2} < \frac{2}{9} .\)
Bước 1: Viết lại tổng:
\(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{9 k^{2}} = \frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} .\)
Bước 2: Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < \frac{2}{9} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < 2.\)
Bước 3: Tính hoặc đánh giá \(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}}\)
- Tổng \(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449\).
- Vậy tổng 100 số đầu tiên chắc chắn nhỏ hơn tổng vô hạn:
\(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < 1.645 < 2.\)
Bước 4: Kết luận
Do đó:
\(\sum_{k = 1}^{100} \left(\left(\right. \frac{1}{3 k} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{9} \times 2 = \frac{2}{9} .\)
Tìm số tự nhiên \(x\) thỏa mãn:
\(\frac{30 : x + 10}{20} < \frac{3}{2}\)
Bước 1: Viết lại biểu thức rõ ràng
Chú ý: dấu “:” là dấu chia, vậy \(30 : x = \frac{30}{x}\).
Biểu thức là:
\(\frac{\frac{30}{x} + 10}{20} < \frac{3}{2} .\)
Bước 2: Giải bất phương trình
Nhân hai vế với 20 (20 > 0, nên chiều bất phương trình không đổi):
\(\frac{30}{x} + 10 < 20 \times \frac{3}{2} = 30.\)
Rút gọn:
\(\frac{30}{x} + 10 < 30.\)
Trừ 10 hai vế:
\(\frac{30}{x} < 20.\)
Bước 3: Giải tiếp
\(\frac{30}{x} < 20.\)
Nhân hai vế với \(x > 0\) (vì \(x\) là số tự nhiên, \(x \geq 1\)):
\(30 < 20 x \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x > \frac{30}{20} = 1.5.\)
Bước 4: Kết luận
- \(x\) là số tự nhiên lớn hơn 1.5, tức:
\(x \geq 2.\)
Đáp số:
\(\boxed{x\in\left\lbrace{2,3,4,5,\ldots\left.\right.}\right\rbrace}.\)
Bước 1: Phân tích đề bài
- Gọi \(\angle C = x\), nên \(\angle B = 2 x\).
- \(\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 3 x\).
Bước 2: Định lý sin trong tam giác \(A B C\):
\(\frac{A B}{sin C} = \frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B} = 2 R ,\)
với \(R\) bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Bước 3: Định nghĩa \(I\)
- \(I\) là giao điểm hai đường phân giác của góc \(B\) và \(C\).
- Tính chất quan trọng:
Đường phân giác góc \(B\) cắt cạnh \(A C\) tại điểm \(I_{B}\) sao cho:
\(\frac{A I_{B}}{I_{B} C} = \frac{A B}{B C} .\)
- Đường phân giác góc \(C\) cắt cạnh \(A B\) tại điểm \(I_{C}\) sao cho:
\(\frac{B I_{C}}{I_{C} A} = \frac{B C}{A C} .\)
Nhưng ở đây \(I\) là giao điểm của 2 đường phân giác \(B I\) và \(C I\).
Bước 4: Xác định vị trí \(I\) và các đoạn thẳng
- \(I\) nằm bên trong tam giác, trên 2 đường phân giác góc \(B\) và góc \(C\).
- Khi đó, \(I\) thuộc đoạn thẳng nối \(B\) với điểm phân giác trên \(A C\), và thuộc đoạn thẳng nối \(C\) với điểm phân giác trên \(A B\).
Bước 5: Đặt tỉ số cạnh từ định lý sin
Ta có:
\(\frac{A B}{B C} = \frac{sin C}{sin A} = \frac{sin x}{sin \left(\right. 180^{\circ} - 3 x \left.\right)} = \frac{sin x}{sin 3 x} .\)
Bước 6: Tính các đoạn liên quan
Vì \(I\) thuộc đường phân giác góc \(B\), nên nó chia cạnh \(A C\) theo tỉ lệ:
\(\frac{A I}{I C} = \frac{A B}{B C} .\)
Điều này cho phép viết:
\(A C = A I + I C = A I + \frac{A I \cdot B C}{A B} = A I \left(\right. 1 + \frac{B C}{A B} \left.\right) .\)
Bước 7: Tìm mối liên hệ giữa các đoạn
Tương tự, vì \(I\) nằm trên phân giác góc \(C\), nên:
\(\frac{B I}{I A} = \frac{B C}{A C} .\)
Vậy:
\(B I = \frac{B C}{A C} I A .\)
Bước 8: Kiểm tra các đáp án
Ta có các đoạn thẳng: \(I A\), \(I B\), \(I C\).
Chú ý:
- \(I A\) là đoạn nối \(I\) đến \(A\).
- \(I B\) là đoạn nối \(I\) đến \(B\).
- \(I C\) là đoạn nối \(I\) đến \(C\).
Đáp án cần tìm có dạng: \(A C = ?\).
Từ trên, ta thấy \(A C = A I + I C\).
Nhưng không có phương án nào là \(A C = A I + I C\), mà có \(A C = A B + I C\) hoặc \(A C = A B + I A\).
Bước 9: So sánh độ dài
Quan sát:
- \(A B\) và \(A I\) cùng nằm trên cạnh \(A B\), trong đó \(I\) thuộc đoạn phân giác góc \(C\), nên \(A I < A B\).
- \(I C\) thuộc cạnh \(A C\).
- \(I B\) thuộc cạnh \(B C\).
Trong các phương án, phương án duy nhất đúng và hợp lý là:
\(\boxed{A C = A B + I C} .\)
Q = \(2^{3} + 4^{3} + 6^{3} + \ldots + 18^{3} + 20^{3}\).
Bước 1: Phân tích dữ kiện đã cho
Bạn cho:
\(1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \ldots + 9^{3} + 10^{3} = 3025\)
Đây là tổng lập phương các số từ 1 đến 10. Chúng ta biết công thức tổng lập phương từ 1 đến n là:
\(1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = \left(\left(\right. \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{2} \left.\right)\right)^{2}\)
Thử với \(n = 10\):
\(\left(\left(\right. \frac{10 \times 11}{2} \left.\right)\right)^{2} = \left(\right. 55 \left.\right)^{2} = 3025\)
Chính xác.
Bước 2: Tính tổng \(Q = 2^{3} + 4^{3} + 6^{3} + \ldots + 18^{3} + 20^{3}\)
Tổng này là tổng các lập phương của các số chẵn từ 2 đến 20.
Gọi:
\(Q = \sum_{k = 1}^{10} \left(\right. 2 k \left.\right)^{3}\)
Ta có:
\(Q = \sum_{k = 1}^{10} 8 k^{3} = 8 \sum_{k = 1}^{10} k^{3}\)
Mà \(\sum_{k = 1}^{10} k^{3} = 3025\) như trên.
Vậy:
\(Q = 8 \times 3025 = 24200\)
Kết luận:
\(\boxed{Q = 24200}\)
Phân tích:
Sau khi cắt 4 góc hình vuông cạnh \(x\), ta gập các mép lên để tạo hộp.
- Chiều dài và chiều rộng đáy hộp sẽ là:
\(12 - 2 x \left(\right. c m \left.\right)\)
- Chiều cao hộp chính là:
\(x \left(\right. c m \left.\right)\)
Thể tích hộp \(V\):
\(V = \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i} \times \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{r}ộ\text{ng} \times \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao} = \left(\right. 12 - 2 x \left.\right) \left(\right. 12 - 2 x \left.\right) \left(\right. x \left.\right) = x \left(\right. 12 - 2 x \left.\right)^{2}\)
Bước 1: Viết biểu thức thể tích:
\(V = x \left(\right. 12 - 2 x \left.\right)^{2}\)
Mở rộng:
\(V = x \left(\right. 144 - 48 x + 4 x^{2} \left.\right) = 144 x - 48 x^{2} + 4 x^{3}\)
Bước 2: Tìm cực trị (cực đại):
Tính đạo hàm \(V^{'} \left(\right. x \left.\right)\):
\(V^{'} \left(\right. x \left.\right) = 144 - 96 x + 12 x^{2}\)
Đặt \(V^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) để tìm nghiệm:
\(12 x^{2} - 96 x + 144 = 0\)
Chia cả phương trình cho 12:
\(x^{2} - 8 x + 12 = 0\)
Bước 3: Giải phương trình bậc hai:
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}\)
Hai nghiệm:
- \(x_{1} = \frac{8 + 4}{2} = 6\)
- \(x_{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2\)
Bước 4: Xét miền nghiệm hợp lệ
- \(x > 0\) (cạnh hình vuông không thể âm)
- \(x < 6\) vì nếu \(x = 6\), đáy hộp thành \(12 - 2 * 6 = 0\), không có chiều dài đáy.
Bước 5: Kiểm tra giá trị thể tích tại \(x = 2\) và \(x = 6\):
- \(V \left(\right. 2 \left.\right) = 2 \times \left(\right. 12 - 4 \left.\right)^{2} = 2 \times 8^{2} = 2 \times 64 = 128\)
- \(V\left(\right.6\left.\right)=6\times\left(\right.12-12\left.\right)^2=6\times0=0\)
Bước 6: Kiểm tra giới hạn khi \(x \rightarrow 0\):
\(V \left(\right. 0 \left.\right) = 0\)
Kết luận:
Thể tích lớn nhất tại \(x = 2\) cm.
- Vì \(C K\) là đường kính, \(O\) là trung điểm \(C K\).
- \(O M \bot B C\) → \(O M\) là đường trung trực của đoạn \(B C\).
- Ta biết \(H\) là trực tâm, do đó \(A H \bot B C\).
- Mặt khác, \(O M \bot B C\) nên \(O M \parallel A H\) hoặc có mối liên hệ vuông góc.
Ta thử chứng minh \(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{K B}\):
- \(H\) là trực tâm nên \(A H \bot B C\).
- \(K\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(O\) (vì \(C K\) là đường kính, \(O\) trung điểm \(C K\)).
- \(\Rightarrow \overset{⃗}{O K} = - \overset{⃗}{O C}\).
Vậy ta thử chứng minh:
\(\overset{⃗}{A H} + \overset{⃗}{K B} = \overset{⃗}{0}\)
Hay \(\overset{⃗}{A H} = - \overset{⃗}{K B}\).
Vì \(\overset{⃗}{K B} = \overset{⃗}{O B} - \overset{⃗}{O K} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}\) (do \(\overset{⃗}{O K} = - \overset{⃗}{O C}\)).
Mặt khác \(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{O H} - \overset{⃗}{O A}\).
Nếu chứng minh \(\overset{⃗}{O H} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}\), thì:
\(\overset{⃗}{A H} = \left(\right. \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} \left.\right) - \overset{⃗}{O A} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} - \overset{⃗}{O A}\)
và
\(\overset{⃗}{K B} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}\)