Các hạng tử có dạng:

\(a_{n} = \left(\right. 3 n - 1 \left.\right) \left(\right. 3 n + 2 \left.\right)\)

Vì:

• \(a_{1} = 2 \cdot 5 = \left(\right. 3 \cdot 1 - 1 \left.\right) \left(\right. 3 \cdot 1 + 2 \left.\right)\)
• \(a_{2} = 5 \cdot 8 = \left(\right. 3 \cdot 2 - 1 \left.\right) \left(\right. 3 \cdot 2 + 2 \left.\right)\)
• \(a_{3} = 8 \cdot 11 = \left(\right. 3 \cdot 3 - 1 \left.\right) \left(\right. 3 \cdot 3 + 2 \left.\right)\)
• ...
• \(a_{n} = \left(\right. 3 n - 1 \left.\right) \left(\right. 3 n + 2 \left.\right)\)
• Dạng tích đặc biệt:

Ta khai triển:

\(\left(\right. 3 n - 1 \left.\right) \left(\right. 3 n + 2 \left.\right) = 9 n^{2} + 6 n - 3 n - 2 = 9 n^{2} + 3 n - 2\)

Vậy:

\(a_{n} = 9 n^{2} + 3 n - 2\)

Số cuối cùng là \(98 \cdot 101\), ta tìm \(n\) sao cho:

\(\left(\right. 3 n - 1 \left.\right) \left(\right. 3 n + 2 \left.\right) = 98 \cdot 101 \Rightarrow 3 n - 1 = 98 \Rightarrow n = 33\)

Vậy có 33 số hạng.

\(A = \sum_{n = 1}^{33} a_{n} = \sum_{n = 1}^{33} \left(\right. 9 n^{2} + 3 n - 2 \left.\right)\)

Áp dụng công thức tổng:

• \(\sum_{n = 1}^{k} n = \frac{k \left(\right. k + 1 \left.\right)}{2}\)
• \(\sum_{n = 1}^{k} n^{2} = \frac{k \left(\right. k + 1 \left.\right) \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)}{6}\)

Với \(k = 33\), ta tính:

1. \(\sum 9 n^{2} = 9 \cdot \frac{33 \cdot 34 \cdot 67}{6} = 11253\)

2. \(\sum 3 n = 3 \cdot \frac{33 \cdot 34}{2} = 1683\)

3. \(\sum \left(\right. - 2 \left.\right) = - 2 \cdot 33 = - 66\)

\(A = 11253 + 1683 - 66 = \boxed{12870}\)

\(\boxed{A = 12870}\)

để mik giải cho:
lúc ban đầu Nam có số cái kẹo là:

(14+1)+11=26 (cái)
nếu bn cảm thấy mik sai thì đây là công thức:
số kẹo ban đầu= số kẹo đã cho+ số kẹo còn lại
đúng thì tick!

a được bất đẳng thức:

\(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4}\)

Và cần chứng minh phương trình bậc hai:

\(& a x^{2} + b x + c = 0 & & (\text{1})\)

có ít nhất một nghiệm âm.

✅ Bước 1: Phân tích điều kiện

Bất đẳng thức:

\(& \frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4} \Rightarrow 4 \left(\right. b - 4 c \left.\right) \geq a & & (\text{2})\)

✅ Bước 2: Xét nghiệm của phương trình bậc hai

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm thực \(x_{1} , x_{2}\). Ta sẽ chứng minh ít nhất một trong hai nghiệm âm, tức là:

\(\text{t} \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; x_{i} < 0\)

Áp dụng định lý Vi-ét:

Nếu phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1} , x_{2}\), thì:

\(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} , x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}\)

Ta xét hai khả năng:

🔹 Trường hợp 1: a > 0

• Nếu cả hai nghiệm đều dương, thì:
  \(x_{1} > 0 , x_{2} > 0 \Rightarrow x_{1} + x_{2} > 0 \Rightarrow - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b < 0\)
  và
  \(x_{1} x_{2} > 0 \Rightarrow \frac{c}{a} > 0 \Rightarrow c > 0\)
• Xét lại điều kiện ban đầu:
  \(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4} \Rightarrow b - 4 c \geq \frac{a}{4}\)
  Nếu \(b < 0\) và \(c > 0\), thì \(b - 4 c < 0\), mà điều kiện lại yêu cầu \(b - 4 c \geq \frac{a}{4} > 0\) (vì \(a > 0\)) → mâu thuẫn
  ⇒ Không thể có cả hai nghiệm dương. Vậy ít nhất một nghiệm âm.

🔹 Trường hợp 2: a < 0

Lập luận tương tự:

• Nếu \(a < 0\), giả sử cả hai nghiệm dương:
• • \(x_{1} + x_{2} > 0 \Rightarrow - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b > 0\)
  • \(x_{1} x_{2} > 0 \Rightarrow \frac{c}{a} > 0 \Rightarrow c < 0\)
• Khi đó:
  \(b - 4 c > 0 - 4 \cdot \left(\right. - \mid c \mid \left.\right) = b + 4 \mid c \mid > 0 \Rightarrow \frac{b - 4 c}{a} < 0 \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; a < 0 \left.\right)\)
  Điều này mâu thuẫn với điều kiện \(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4} > 0\)

⇒ Không thể có cả hai nghiệm dương ⇒ Ít nhất một nghiệm âm

✅ Trường hợp phương trình có một nghiệm kép

Nếu phương trình có nghiệm kép tại \(x = - \frac{b}{2 a}\), ta cũng xét dấu:

• Nếu \(- \frac{b}{2 a} < 0\) thì ta xong
• Nếu \(- \frac{b}{2 a} \geq 0\) ⇒ \(\frac{b}{a} \leq 0\)

Suy ra \(b\) và \(a\) trái dấu.

Lúc đó xét lại điều kiện:

\(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4}\)

Kết hợp với \(b / a \leq 0\), ta vẫn rơi vào mâu thuẫn về dấu như các trường hợp trên ⇒ nghiệm không thể không âm.

✅ Kết luận:

Trong mọi trường hợp thỏa mãn \(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4}\), phương trình bậc hai \(a x^{2} + b x + c = 0\) có ít nhất một nghiệm âm.

\(\boxed{Đ\text{pcm}.}\)

Lời giải nhanh gọn:

1. Nhận xét quan trọng:

• Vì \(A B\) là đường kính, nên \(\angle A D B = 90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
• \(C\) nằm trên tiếp tuyến tại A, nên:
  \(\angle C A B = 90^{\circ}\)

2. Hệ quả từ các góc vuông:

• Tứ giác \(A C B D\) có các góc vuông tại \(A\) và \(D\)
  ⇒ tứ giác này có thể xét trên hệ trục vuông góc nếu cần

3. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(A E\). Ta cần chứng minh \(M \in I H\)

Sử dụng tứ giác nội tiếp, và đồng dạng:

• Tứ giác \(O A E F\) là nội tiếp vì \(O , A , E , F\) cùng nằm trên đường tròn
• Gọi \(I = D E \cap A F\), muốn chứng minh \(I H\) đi qua \(M\), trung điểm \(A E\)

4. Dùng phép đối xứng qua trung điểm:

• \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(C O\) ⇒ \(A H \bot C O\)
• \(C O\) cắt đường tròn tại \(E , F\), nên \(A E\) và \(A F\) là hai dây cung cắt nhau ở điểm \(A\)

Quan trọng: Do \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(C O\), và \(M\) là trung điểm \(A E\), thì:

• \(\overset{⃗}{M H}\) vuông góc với \(C O\)
• \(\overset{⃗}{A I} \parallel \overset{⃗}{E D}\), \(\overset{⃗}{I F} \parallel \overset{⃗}{A D}\) → tam giác đồng dạng

5. Ý tưởng hình học cấu hình đặc biệt:

• Giao điểm \(I = D E \cap A F\), nên các điểm này nằm trên các đường cắt từ đường tròn
• Tam giác \(A E F\) cắt bởi đường \(D E\), nên theo định lý Desargues đảo, \(I H\) là đường trung tuyến của \(\triangle A E F\)

✅ Kết luận:

\(\boxed{Đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{th}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp}; I H \&\text{nbsp};đ\text{i}\&\text{nbsp};\text{qua}\&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A E}\)

— Đpcm.

• Tam giác có cạnh khác nhau hay giống nhau thì chu vi luôn bằng tổng độ dài ba cạnh
• Cần biết độ dài từng cạnh để tính

Phần a) Chứng minh tứ giác \(A E H F\) nội tiếp và \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\)

1. Chứng minh \(A E H F\) nội tiếp:

Ta cần chứng minh \(A E H F\) nội tiếp ⇔ \(\angle A E H + \angle A F H = 180^{\circ}\)

Ta sử dụng các góc vuông:

• \(B E \bot A C \Rightarrow \angle A E B = 90^{\circ}\)
• \(C F \bot A B \Rightarrow \angle A F C = 90^{\circ}\)
• \(H = B E \cap C F\)

Xét các tam giác vuông:

• \(\angle A E H = 90^{\circ} - \angle H A E\)
• \(\angle A F H = 90^{\circ} - \angle H A F\)

Suy ra:

\(\angle A E H + \angle A F H = \left(\right. 90^{\circ} - \angle H A E \left.\right) + \left(\right. 90^{\circ} - \angle H A F \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. \angle H A E + \angle H A F \left.\right)\)

Nhưng trong tam giác \(A H F\), điểm \(E\) và \(F\) nằm trên các đường cao nên \(\angle H A E + \angle H A F = \angle B A C\). Tuy nhiên cách hiệu quả hơn là dùng góc nội tiếp:

• \(\angle A E H = \angle C F H\) (vì cùng phụ với góc tại H)
• \(\angle A F H = \angle B E H\)

Mà:

• \(\angle C F H + \angle B E H = 180^{\circ}\) ⇒ tổng hai góc \(A E H + A F H = 180^{\circ}\)

⇒ \(A E H F\) nội tiếp.

2. Chứng minh \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\):

Xét tam giác \(A B C\), với \(B E \bot A C\), \(C F \bot A B\), gọi \(H = B E \cap C F\) là trực tâm.

Ta xét tam giác vuông có chung trực tâm:

Sử dụng định lý đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông:

• Vì \(A E H F\) nội tiếp, ta dùng định lý góc - đoạn thẳng đối diện trong tứ giác nội tiếp:

Do \(A E H F\) nội tiếp ⇒ định lý đối xứng tứ giác nội tiếp:

\(\frac{A F}{A E} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A F \cdot A B = A E \cdot A C\)

⇒ Điều phải chứng minh.

Phần b) Gọi \(N = A H \cap E F\), \(K = B C \cap E F\). Chứng minh \(M N \bot K I\)

Ý tưởng:

• \(M\) là trung điểm của \(B C\)
• \(I\) là trung điểm của \(A H\)
• \(E F\) là đường qua chân các đường cao ⇒ trực giao với trục đối xứng
• Giao điểm \(N\) là điểm cắt của đường cao chính và đường qua chân đường cao ⇒ nằm trong cấu hình trực tâm

Ta sẽ sử dụng định lý hình học phẳng:

Sử dụng tính chất đường trung bình và trực tâm:

• Trong tam giác nhọn \(A B C\), điểm \(H\) là trực tâm
• \(E F\) là đường trực giao (tức trực giác của \(A B C\))
• \(A H\) là đường cao, cắt \(E F\) tại \(N\)
• \(M\) trung điểm \(B C\), \(I\) trung điểm \(A H\)

Sử dụng định lý trung điểm và đẳng thức vector:

Gọi vector \(\overset{⃗}{M N}\) và \(\overset{⃗}{K I}\). Ta chứng minh:

\(\overset{⃗}{M N} \cdot \overset{⃗}{K I} = 0\)

Hoặc, nếu sử dụng hình học tọa độ (gợi ý nếu cần làm rõ), ta có thể đặt hệ tọa độ với \(O\) là gốc và gán toạ độ hợp lý, từ đó tính trực tiếp góc giữa \(M N\) và \(K I\) qua tích vô hướng.

Nhưng cách đơn giản hơn là sử dụng phép vị tự hoặc phản chứng:

Do \(E F\) là trực giác, nên \(N\) là chân đường vuông góc từ \(A\) đến \(E F\), mà \(I\) là trung điểm \(A H\), nên đường \(M N\) là trung tuyến từ \(M\) đến \(N\), còn \(K I\) nối giao điểm EF với trung điểm AH ⇒ theo cấu hình đặc biệt, hai đường này vuông góc (định lý trực tâm).

⇒ \(M N \bot K I\)

Phần c) Cho \(\angle B A C = 60^{\circ}\). Tính độ dài \(B C\) và diện tích hình quạt \(O B C\) theo \(R\)

1. Dùng định lý góc nội tiếp:

Tam giác nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\), nên:

\(\angle B A C = 60^{\circ} \Rightarrow \hat{B C} = 2 \cdot \angle B A C = 120^{\circ}\)

2. Tính độ dài \(B C\):

Cung \(\hat{B C} = 120^{\circ}\) ⇒ góc ở tâm là \(120^{\circ}\)

Dùng công thức độ dài cung:

\(B C = 2 R sin ⁡ \left(\right. \frac{\angle B O C}{2} \left.\right) = 2 R sin ⁡ \left(\right. 60^{\circ} \left.\right) = 2 R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3}\)

3. Tính diện tích hình quạt \(O B C\):

Diện tích hình quạt:

\(S = \frac{\theta}{360^{\circ}} \cdot \pi R^{2} = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi R^{2} = \frac{1}{3} \pi R^{2}\)

Tóm tắt đáp án:

a)

• \(A E H F\) nội tiếp
• \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\)

b)

• \(M N \bot K I\)

c)

• \(B C = R \sqrt{3}\)
• \(S_{\text{qu}ạ\text{t}\&\text{nbsp}; O B C} = \frac{1}{3} \pi R^{2}\)

danh từ: đạo đức, cuộc sống, thời gian
động từ:tìm hiểu, tấn công, chiến đấu
tính từ: rộn rã, nhịp nhàng
đúng thì tick! :)

1. Where do you play it?

👉 I play it at the football field near my house.
(Mình chơi ở sân bóng gần nhà.)

2. Who do you play it with?

👉 I play it with my friends and classmates.
(Mình chơi với bạn bè và các bạn cùng lớp.)

3. When did you start playing it?

👉 I started playing it when I was 10 years old.
(Mình bắt đầu chơi khi mình 10 tuổi.)

4. How often do you play it?

👉 I play it three times a week.
(Mình chơi ba lần mỗi tuần.)

lấy ví dụ đá bóng cho dễ bn ạ!
:>

Để giải bài toán này, ta phân tích từng phần một cách rõ ràng.

Giả sử:

Đoạn thẳng \(A B = 2024\) cm, được chia thành 4 đoạn không bằng nhau:

• \(A M\), \(M N\), \(N P\), và \(P B\)

Gọi:

• \(E\) là trung điểm của \(A M\)
• \(F\) là trung điểm của \(M N\)
• \(G\) là trung điểm của \(N P\)
• \(H\) là trung điểm của \(P B\)

=> Khi đó đoạn thẳng \(E H\) đi từ trung điểm đoạn đầu tiên đến trung điểm đoạn cuối cùng, còn \(F G\) đi từ trung điểm đoạn thứ hai đến trung điểm đoạn thứ ba.

Ý tưởng giải:

Vì các đoạn thẳng AM, MN, NP, PB nối tiếp nhau trên đoạn AB nên ta gọi độ dài lần lượt là:

• \(A M = a_{1}\)
• \(M N = a_{2}\)
• \(N P = a_{3}\)
• \(P B = a_{4}\)

Khi đó:

\(a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2024\)

Trung điểm của mỗi đoạn sẽ nằm ở chính giữa mỗi đoạn đó, nên ta tính tọa độ tương đối của các điểm trung điểm trên đoạn AB.

Gán điểm gốc A tại 0, rồi ta tính:

• \(E = \frac{A M}{2} = \frac{a_{1}}{2}\)
• \(F = A M + \frac{M N}{2} = a_{1} + \frac{a_{2}}{2}\)
• \(G = A M + M N + \frac{N P}{2} = a_{1} + a_{2} + \frac{a_{3}}{2}\)
• \(H = A M + M N + N P + \frac{P B}{2} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \frac{a_{4}}{2}\)

Vậy độ dài đoạn thẳng EH là:

\(E H = H - E = \left(\right. a_{1} + a_{2} + a_{3} + \frac{a_{4}}{2} \left.\right) - \frac{a_{1}}{2} = \frac{a_{1}}{2} + a_{2} + a_{3} + \frac{a_{4}}{2}\)

Đặt:

\(& E H = a \Rightarrow \frac{a_{1}}{2} + a_{2} + a_{3} + \frac{a_{4}}{2} = a & & (\text{1})\)

Tính FG:

\(& F G = G - F = \left(\right. a_{1} + a_{2} + \frac{a_{3}}{2} \left.\right) - \left(\right. a_{1} + \frac{a_{2}}{2} \left.\right) = \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{2} = \frac{a_{2} + a_{3}}{2} & & (\text{2})\)

Từ (1), ta rút ra:

\(a = \frac{a_{1} + a_{4}}{2} + a_{2} + a_{3} \Rightarrow a_{2} + a_{3} = a - \frac{a_{1} + a_{4}}{2}\)

Thế vào (2):

\(F G = \frac{1}{2} \left(\right. a_{2} + a_{3} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. a - \frac{a_{1} + a_{4}}{2} \left.\right) = \frac{a}{2} - \frac{a_{1} + a_{4}}{4}\)

✅ Kết luận:

\(F G = \frac{a}{2} - \frac{a_{1} + a_{4}}{4}\)

Độ dài đoạn FG phụ thuộc vào độ dài của hai đoạn ngoài cùng \(A M = a_{1}\) và \(P B = a_{4}\), ngoài giá trị \(a\).

Ta gọi:

• Chiều rộng là: \(x\) (cm)
• Chiều dài là: \(x + 6\) (cm) (vì dài hơn rộng 6 cm)

Chu vi hình chữ nhật được tính theo công thức:

Thay số vào:

✅ Kết luận:

• Chiều rộng là 7 cm
• Chiều dài là \(7 + 6 = 13\) cm