⚡Nếu \(� < 1\) thì \(�^{8} - �^{7} + �^{2} - � + 1\)

\(= �^{8} + �^{2} \left(\right. 1 - �^{5} \left.\right) + \left(\right. 1 - � \left.\right) > 0\).

⚡Nếu \(� \geq 1\) thì \(�^{8} - �^{7} + �^{2} - � + 1\)

\(= �^{7} \left(\right. � - 1 \left.\right) + � \left(\right. � - 1 \left.\right) + 1 > 0\).

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   \(2 \left(\right. \frac{�^{2}}{�^{2}} + \frac{�^{2}}{�^{2}} + \frac{�^{2}}{�^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{�}{�} + \frac{�}{�} + \frac{�}{�} \left.\right)\)

Xét dấu hiệu \(2 \left(\right. \frac{�^{2}}{�^{2}} + \frac{�^{2}}{�^{2}} + \frac{�^{2}}{�^{2}} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{�}{�} + \frac{�}{�} + \frac{�}{�} \left.\right)\)

\(= \left(\right. \frac{�}{�} - \frac{�}{�} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{�}{�} - \frac{�}{�} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{�}{�} - \frac{�}{�} \left.\right)^{2} \geq 0\)

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với \(� + �\) ta được bất đẳng thức tương đương là

\(�^{5} + �^{5} > \left(\right. �^{2} + �^{2} \left.\right) \left(\right. � + � \left.\right)\) (1)

Từ giả thiết \(� > \sqrt{2}\) suy ra \(�^{2} > 2\) suy ra \(�^{5} > 2 �^{3}\), từ đó   

\(�^{5} + �^{5} > 2 \left(\right. �^{3} + �^{3} \left.\right)\)

\(= 2 \left(\right. �^{2} - � � + �^{2} \left.\right) \left(\right. � + � \left.\right)\)

\(= \left(\right. � - � \left.\right)^{2} + \left(\right. �^{2} + �^{2} \left.\right) \left(\right. � + � \left.\right) \geq \left(\right. �^{2} + �^{2} \left.\right) \left(\right. � + � \left.\right)\) suy ra (1), điều phải chứng minh.

Ta có \(� + � = 1\)

\(\left(\right. 1 + \frac{1}{�} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{�} \left.\right) = \left(\right. 1 + \frac{� + �}{�} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{� + �}{�} \left.\right) = \left(\right. 2 + \frac{�}{�} \left.\right) \left(\right. 2 + \frac{�}{�} \left.\right)\)

\(= 5 + \frac{2 �}{�} + \frac{2 �}{�} = 5 + 2 \left(\right. \frac{�}{�} + \frac{�}{�} \left.\right)\)

Theo Cosi \(\frac{�}{�} + \frac{�}{�} \geq 2 \sqrt{\frac{�}{�} . \frac{�}{�}} = 2 \Rightarrow 2 \left(\right. \frac{�}{�} + \frac{�}{�} \left.\right) \geq 4 \Rightarrow 5 + 2 \left(\right. \frac{�}{�} + \frac{�}{�} \left.\right) \geq 9\)

Chú ý rằng \(1 + 4 = 2 + 3\), ta đặt  \(� = \left(\right. � - 1 \left.\right) \left(\right. � - 4 \left.\right) = �^{2} - 5 � + 4\) thì 

\(\left(\right. � - 2 \left.\right) \left(\right. � - 3 \left.\right) = �^{2} - 5 � + 6 = � + 2\)

từ đó \(\left(\right. � - 1 \left.\right) \left(\right. � - 2 \left.\right) \left(\right. � - 3 \left.\right) \left(\right. � - 4 \left.\right) + 1\)

\(= � \left(\right. � + 2 \left.\right) + 1 = �^{2} + 2 � + 1 = \left(\right. � + 1 \left.\right)^{2} \geq 0\)

Dẳng thức chỉ xảy ra khi \(� = - 1\)

hay \(�^{2} - 5 � + 4 = - 1\)

\(�^{2} - 5 � + 5 = 0\)

\(� = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}\).

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là 

\(x^6\left(\right.x-1\left.\right)^2+3\left(\right.x^4-\frac{1}{2}\left.\right)^2+\left(\right.x-\frac{1}{2}\left.\right)^2\).

Giả thiết đã cho tương đương với \(\frac{1}{�} + \frac{1}{�} + \frac{1}{�} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} = 6\). (1)

Ta có \(\left(\right. \frac{1}{�} - 1 \left.\right)^{2} \geq 0\)

\(\frac{1}{�^{2}} + 1 \geq \frac{2}{�}\) nên 

\(\frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \geq 2 \left(\right. \frac{1}{�} + \frac{1}{�} + \frac{1}{�} \left.\right) - 3\) (2)

Lại có \(\frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \geq \frac{2}{� �}\) nên 

\(2 \left(\right. \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} \left.\right)\) (3)

Cộng (2) và (3) theo vế  và sử dụng (1)  ta có    

\(3 \left(\right. \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{�} + \frac{1}{�} + \frac{1}{�} \left.\right) - 3 = 2.6 - 3 = 9\) 

Suy ra \(\frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \geq 3\).

Ta có \(�^{2} + �^{2} + � � - 3 � - 3 � + 3\)

\(= \left(\right. � - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. � - 1 \left.\right)^{2} + � � + 1 - � - �\)

\(= \left(\right. � - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. � - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. � - 1 \left.\right) \left(\right. � - 1 \left.\right) \geq 0\)                       

(do \(�^{2} + � � + �^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 �^{2} + 4 � � + 4 �^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 � + � \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} �^{2} \geq 0\))

Ta có:

=> Đẳng thức xảy ra khi a = b

Tương tự:

Từ đó suy ra

1) \(�^{2} - � � + �^{2}\)

\(= \left(\right. �^{2} - 2 \cdot � \cdot \frac{1}{2} � + \frac{1}{4} �^{2} \left.\right) + \frac{3}{4} �^{2} = \left(\left(\right. � - \frac{1}{2} � \left.\right)\right)^{2} + \frac{3}{4} �^{2} \geq 0 \forall � , �\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left{\right. � - \frac{1}{2} � = 0 \\ � = 0 \Leftrightarrow � = � = 0\) 

2) \(�^{2} - � � + �^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\left(\right. � + � \left.\right)\right)^{2}\)

\(< = > �^{2} - � � + �^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. �^{2} + 2 � � + �^{2} \left.\right) < = > �^{2} - � � + �^{2} \geq \frac{1}{4} �^{2} + \frac{1}{2} � � + \frac{1}{4} �^{2} < = > \frac{3}{4} �^{2} - \frac{3}{2} � � + \frac{3}{4} �^{2} \geq 0 < = > \frac{3}{4} \left(\right. �^{2} - 2 � � + �^{2} \left.\right) \geq 0 < = > \frac{3}{4} \left(\left(\right. � - � \left.\right)\right)^{2} \geq 0 (\text{lu} \hat{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng})\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(� - � = 0 < = > � = �\)