Đây nha
Ta có đa thức:

\(f \left(\right. x \left.\right) = x^{14} - 14 x^{13} + 14 x^{12} - 14 x^{11} + \hdots + 14 x^{2} - 14 x + 13\)

Đây là một đa thức bậc 14 có hệ số luân phiên: \(+ , - , + , - , \ldots\) với hệ số của \(x^{k}\) là:

• \(1\) nếu \(k = 14\),
• \(- 14\) nếu \(k\) lẻ từ 1 đến 13,
• \(14\) nếu \(k\) chẵn từ 2 đến 12,
• và hằng số cuối cùng là \(13\).

Bước 1: Viết lại đa thức

Tách thành hai phần:

\(f \left(\right. x \left.\right) = x^{14} + \sum_{k = 1}^{13} a_{k} x^{k} + 13\)

Trong đó:

• \(a_{k} = - 14\) nếu \(k\) lẻ,
• \(a_{k} = + 14\) nếu \(k\) chẵn.

Bước 2: Đặt \(x = 13\), tính \(f \left(\right. 13 \left.\right)\)

Chúng ta sẽ tính:

\(f \left(\right. 13 \left.\right) = 13^{14} - 14 \cdot 13^{13} + 14 \cdot 13^{12} - 14 \cdot 13^{11} + \hdots + 14 \cdot 13^{2} - 14 \cdot 13 + 13\)

Gọi \(S = 13^{14} - 14 \cdot 13^{13} + 14 \cdot 13^{12} - \hdots - 14 \cdot 13 + 13\)

Bước 3: Đặt \(x = 13\), thử biến đổi:

Ta đặt:

\(f \left(\right. x \left.\right) = x^{14} + \sum_{k = 1}^{13} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} \cdot 14 \cdot x^{k} + 13\)

Khi đó:

\(f \left(\right. 13 \left.\right) = 13^{14} + \sum_{k = 1}^{13} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} \cdot 14 \cdot 13^{k} + 13\)

Tách tổng ra:

\(f \left(\right. 13 \left.\right) = 13^{14} + 13 + 14 \cdot \sum_{k = 1}^{13} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} \cdot 13^{k}\)

Gọi:

\(T = \sum_{k = 1}^{13} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} \cdot 13^{k}\)

Đây là một chuỗi luân phiên cấp số nhân, có thể nhóm lại:

\(T = - 13 + 13^{2} - 13^{3} + 13^{4} - \hdots + 13^{12} - 13^{13}\)

Tức là:

\(T = \sum_{k = 1}^{13} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} \cdot 13^{k}\)

Ta đặt:

\(S = \sum_{k = 0}^{13} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} \cdot 13^{k} = \frac{1 - \left(\right. - 13 \left.\right)^{14}}{1 + 13} = \frac{1 - 13^{14}}{14}\)

=> Trừ đi số hạng đầu \(k = 0\):

\(T = S - 1 = \frac{1 - 13^{14}}{14} - 1 = \frac{1 - 13^{14} - 14}{14} = \frac{- 13^{14} - 13}{14}\)

Bước 4: Tính lại \(f \left(\right. 13 \left.\right)\)

\(f \left(\right. 13 \left.\right) = 13^{14} + 13 + 14 \cdot T = 13^{14} + 13 + 14 \cdot \left(\right. \frac{- 13^{14} - 13}{14} \left.\right)\) \(= 13^{14} + 13 - \left(\right. 13^{14} + 13 \left.\right) = 0\)

✅ Kết luận:

\(\boxed{f \left(\right. 13 \left.\right) = 0}\)