omg

Giả sử x+y+xy = -1

Suy ra x+y+xy+1 = 0
Suy ra (x+1)(y+1) = 0
Suy ra x=-1 hoặc y=-1

Mà theo đề bài đã cho, x và y đều khác -1

Suy ra mâu thuẫn

Vậy nên nếu \(x \neq - 1\) và \(y \neq - 1\) thì \(x + y + x y \neq - 1\).

Giả sử tam giác không phải là tam giác đều đó có cả ba góc đều lớn hơn hoặc bằng 60∘

Suy ra tổng 3 góc trong tam giác đó sẽ lớn hơn hoặc bằng 60∘ + 60∘ + 60∘

Hay tổng 3 góc trong tam giác đó sẽ lớn hơn hoặc bằng 180∘

Dấu bằng xảy ra khi cả ba góc bằng 60∘ tức tam giác đó là tam giác đều (mâu thuẫn)

Vậy nên trong một tam giác không phải là tam giác đều thì có ít nhất một góc nhỏ hơn 60∘

Giả sử n lẻ

Suy ra n có dạng 2k+1 (k là STN)

Suy ra n^2 có dạng (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k +1 = 4k(k+1) +1 là số lẻ (mâu thuẫn)

Vậy nên nếu n^2 chẵn thì n chẵn

Giả sử ax+by/2 < (a+b)(x+y)/4
Nhân cả hai vế với 4, ta được: 2ax+2by < (a+b)(x+y)

Sra 2ax + 2by < ax + ay + bx +by
Sra ax + by < ay + bx

Sra ax - ay < bx - by
Sra a(x-y) < b(x-y) (1)

Vì x≥y nên x-y ≥ 0, và vì a≥b theo giả thuyết

Sra a(x-y) ≥ b(x-y) (2)

Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn, suy ra giả sử sai

Vậy ta suy ra được điều phải chứng minh

Vì n và n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp
Suy ra n(n+1) chia hết cho 2 (1)
Mà n chia hết cho 3, suy ra n(n+1) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n(n+1) chia hết cho 6 do ƯCLN(2,3)=1

Vậy với mọi STN n, nếu n chia hết cho 3 thì n(n+1) chia hết cho 6

Xét hiệu: 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 - 4xy = 4y^2 - 4xy + x^2 + 3x^2 + 6x +3

= (2y - x)^2 + 3.(x + 1)^2

Mà (2y-x)^2 và 3.(x+1)^2 đều lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x, y
Suy ra (2y - x)^2 + 3.(x + 1)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x, y
Suy ra 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 - 4xy lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x, y
Suy ra 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 ≥ 4xy với mọi x, y
Vậy 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 ≥ 4xy với mọi x, y

Nếu n lẻ thì suy ra n có dạng 2k+1 (với k là số tự nhiên)
Suy ra n^3 có dạng (2k+1)^3 = 8k^3 +12k^2 + 6k +1 = 2k.(4k^2 + 6k + 3) +1 là số lẻ
Vậy nên nếu n lẻ thì n^3 lẻ