Đặt \(S = x + y , \textrm{ }\textrm{ } P = x y\). Ta có

Suy ra \(7 S^{2} - 7 P = 39 S \Rightarrow 7 P = 7 S^{2} - 39 S\). Vì \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(39 S\) chia hết cho \(7\) nên \(S \equiv 0 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\). Gọi \(S = 7 t\) với \(t \in \mathbb{Z}\). Khi đó

\(x , y\) là nghiệm của \(u^{2} - 7 t \textrm{ } u + t \left(\right. 49 t - 39 \left.\right) = 0\). Đẳng thức này có biệt thức

Vì \(t \in \mathbb{Z}\) nên chỉ có \(t = 0\) hoặc \(t = 1\).

• \(t = 0 : \textrm{ }\textrm{ } S = 0 , P = 0 \Rightarrow \left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\).
• \(t = 1 : \textrm{ }\textrm{ } S = 7 , P = 10 \Rightarrow u^{2} - 7 u + 10 = 0 \Rightarrow u = 5 , 2\) nên \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 5 , 2 \left.\right)\) hoặc \(\left(\right. 2 , 5 \left.\right)\).

Vậy nghiệm nguyên là \(\boxed{\left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 5 , 2 \left.\right) , \left(\right. 2 , 5 \left.\right)}\).

số 11 là số nguyên tố vì 11 không số nào chia hết cho nó ngoại trừ 1 và chính nó