Bài 1:

a)

• Thanh \(A B\) không đáng kể khối lượng, treo tại điểm \(O\) (cách A một đoạn \(O A = \frac{1}{4} A B\)).
• Tại \(A\) treo vật \(m_{1} = 2 \textrm{ } k g\).
• Tại \(B\) treo vật \(m_{2}\).
• Yêu cầu: Tìm \(m_{2}\) để thanh cân bằng.

Giải:

Điều kiện cân bằng momen tại điểm \(O\):

Trong đó:

• \(O A = \frac{1}{4} A B\).
• \(O B = A B - O A = \frac{3}{4} A B\).

Suy ra:

✅ Kết quả: \(m_{2} = \frac{2}{3} \textrm{ } k g\).

b)

• Vật \(m_{1}\) được nhúng vào chất lỏng có khối lượng riêng bằng ½ khối lượng riêng của vật.
• Khi đó lực đẩy Ác-si-mét:

→ \(F_{A} = \frac{1}{2} m_{1} g\).

Vậy trọng lượng biểu kiến của \(m_{1}\):

Thay \(m_{1} = 2 \textrm{ } k g\):

Nghĩa là khối lượng hiệu dụng còn 1 kg.

Khi cân bằng:

trong đó \(m_{1}^{'} = 1 \textrm{ } k g\), \(O A = \frac{1}{4} A B\), và \(x\) là khoảng cách từ \(O\) đến vị trí treo \(m_{2}\).

✅ Vậy: Muốn cân bằng, phải treo \(m_{2}\) tại điểm cách \(O\) một đoạn \(\frac{3}{8} A B\) về phía \(B\).

Bài 2:

Một thanh kim loại quay quanh điểm \(O\).

• Điểm \(A\) cách điểm treo \(D\) một đoạn 0,6 m.
• Tại \(A\) treo \(m_{1} = 7 , 5 \textrm{ } k g\).
• Tại đầu \(D\) nối ròng rọc động treo vật \(m_{2} = 10 \textrm{ } k g\).
• Yêu cầu: tính chiều dài thanh.

👉 Đoạn này hơi dài, bạn có muốn mình trình bày chi tiết bước giải cho bài 2 luôn không (gồm phân tích lực căng dây, ròng rọc động giảm lực còn \(m_{2} g / 2\), lập phương trình cân bằng momen quanh \(O\))?

Bài 1:

a)

• Thanh \(A B\) không đáng kể khối lượng, treo tại điểm \(O\) (cách A một đoạn \(O A = \frac{1}{4} A B\)).
• Tại \(A\) treo vật \(m_{1} = 2 \textrm{ } k g\).
• Tại \(B\) treo vật \(m_{2}\).
• Yêu cầu: Tìm \(m_{2}\) để thanh cân bằng.

Giải:

Điều kiện cân bằng momen tại điểm \(O\):

Trong đó:

• \(O A = \frac{1}{4} A B\).
• \(O B = A B - O A = \frac{3}{4} A B\).

Suy ra:

✅ Kết quả: \(m_{2} = \frac{2}{3} \textrm{ } k g\).

b)

• Vật \(m_{1}\) được nhúng vào chất lỏng có khối lượng riêng bằng ½ khối lượng riêng của vật.
• Khi đó lực đẩy Ác-si-mét:

→ \(F_{A} = \frac{1}{2} m_{1} g\).

Vậy trọng lượng biểu kiến của \(m_{1}\):

Thay \(m_{1} = 2 \textrm{ } k g\):

Nghĩa là khối lượng hiệu dụng còn 1 kg.

Khi cân bằng:

trong đó \(m_{1}^{'} = 1 \textrm{ } k g\), \(O A = \frac{1}{4} A B\), và \(x\) là khoảng cách từ \(O\) đến vị trí treo \(m_{2}\).

✅ Vậy: Muốn cân bằng, phải treo \(m_{2}\) tại điểm cách \(O\) một đoạn \(\frac{3}{8} A B\) về phía \(B\).

Bài 2:

Một thanh kim loại quay quanh điểm \(O\).

• Điểm \(A\) cách điểm treo \(D\) một đoạn 0,6 m.
• Tại \(A\) treo \(m_{1} = 7 , 5 \textrm{ } k g\).
• Tại đầu \(D\) nối ròng rọc động treo vật \(m_{2} = 10 \textrm{ } k g\).
• Yêu cầu: tính chiều dài thanh.

Đề:

• Người A và B có số táo bằng nhau, gọi là \(n\) quả mỗi người.
• Giá dự kiến:
• • A bán \(10000 / 3\) quả (≈ 3333 đ/quả).
  • B bán \(10000 / 2\) quả (5000 đ/quả).
• Thực tế: B gộp chung, bán \(20000 / 5\) quả (4000 đ/quả).
• Sau khi bán hết, đếm tiền thì thiếu 15000 đ so với dự kiến.
• Hỏi số tiền của B thực thu nhiều hơn A bao nhiêu?

Bước 1: Tính tiền dự kiến nếu bán riêng

• A dự kiến:
  \(T_{A} = \frac{10000}{3} \cdot n = \frac{10000 n}{3} .\)
• B dự kiến:
  \(T_{B} = \frac{10000}{2} \cdot n = 5000 n .\)
• Tổng dự kiến:
  \(T = \frac{10000 n}{3} + 5000 n .\)

Bước 2: Tính tiền thực tế khi gộp bán

• Tổng số táo: \(2 n\).
• Giá bán: \(20000 / 5 = 4000\) đ/quả.
• Tổng tiền thu được:
  \(T^{'} = 4000 \cdot 2 n = 8000 n .\)

Bước 3: Lập phương trình “thiếu 15000 đ”

\(T - T^{'} = 15000.\)

Thay vào:

\(\left(\right. \frac{10000 n}{3} + 5000 n \left.\right) - 8000 n = 15000.\) \(\frac{10000 n}{3} - 3000 n = 15000.\) \(\frac{10000 n - 9000 n}{3} = 15000.\) \(\frac{1000 n}{3} = 15000 \Rightarrow n = 45.\)

Bước 4: Tính tiền của A và B trong thực tế

• A có 45 quả. Bán chung giá 4000 đ/quả →
  \(T_{A}^{'} = 45 \cdot 4000 = 180000\).
• B cũng 45 quả →
  \(T_{B}^{'} = 45 \cdot 4000 = 180000\).

Bước 5: So sánh

• Dự kiến:
• • A: \(\frac{10000}{3} \cdot 45 = 150000\).
  • B: \(5000 \cdot 45 = 225000\).
• Thực tế:
• • A: 180000.
  • B: 180000.

→ Người A lãi thêm \(30000\) so với dự kiến.
→ Người B mất đi \(45000\) so với dự kiến.

→ So sánh A và B trong thực tế:

\(180000 - 180000 = 0.\)

✅ Kết quả:

Trong thực tế, số tiền của B không nhiều hơn A → hai người thu bằng nhau.

Nhưng vì đề hỏi “B thu ít hơn so với dự kiến bao nhiêu?” thì ta có: người B thu ít hơn người A 0 đồng, nhưng so với dự kiến thì B mất 45.000 đồng còn A được lợi 30.000 đồng.

Đề tóm tắt:

• Tổng chi phí xây cầu: 340 triệu.
• Đơn vị 1: 8 xe, cách 1,5 km.
• Đơn vị 2: 5 xe, cách 3 km.
• Đơn vị 3: 4 xe, cách 1 km.
• Số tiền mỗi đơn vị đóng tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách.

Bước 1: Xác định "trọng số" của từng đơn vị

Công thức:

\(S \overset{ˊ}{\hat{o}} \&\text{nbsp}; t i \overset{ˋ}{\hat{e}} n \propto \frac{S \overset{ˊ}{\hat{o}} \&\text{nbsp}; x e}{K h o ả n g \&\text{nbsp}; c \overset{ˊ}{a} c h}\)

• Đơn vị 1: \(\frac{8}{1 , 5} = \frac{16}{3} \approx 5 , 33\).
• Đơn vị 2: \(\frac{5}{3} \approx 1 , 67\).
• Đơn vị 3: \(\frac{4}{1} = 4\).

Bước 2: Tổng hệ số

\(\frac{16}{3} + \frac{5}{3} + 4 = \frac{16 + 5}{3} + 4 = 7 + 4 = 11.\)

Bước 3: Phân chia số tiền

Tổng 340 triệu ứng với 11 phần.
→ Mỗi phần:

\(\frac{340}{11} \approx 30 , 91 \&\text{nbsp};\text{tri}ệ\text{u} .\)

• Đơn vị 1: \(\frac{16}{3} \times 30 , 91 \approx 164 , 85 \&\text{nbsp};\text{tri}ệ\text{u}\).
• Đơn vị 2: \(\frac{5}{3} \times 30 , 91 \approx 51 , 52 \&\text{nbsp};\text{tri}ệ\text{u}\).
• Đơn vị 3: \(4 \times 30 , 91 \approx 123 , 64 \&\text{nbsp};\text{tri}ệ\text{u}\).

✅ Kết quả:

• Đơn vị 1: khoảng 164,85 triệu đồng.
• Đơn vị 2: khoảng 51,52 triệu đồng.
• Đơn vị 3: khoảng 123,64 triệu đồng.

(Tổng đúng 340 triệu đồng).

Mình hệ thống lại tính chất hóa học của các loại oxit để bạn dễ học nhé 👇

1. Oxit axit (thường là oxit của phi kim hoặc kim loại có số oxi hoá cao, ví dụ: SO₂, CO₂, P₂O₅, N₂O₅, …)

• Tác dụng với nước → tạo dung dịch axit.
  \(S O_{3} + H_{2} O \rightarrow H_{2} S O_{4}\)
• Tác dụng với bazơ → tạo muối và nước.
  \(C O_{2} + C a \left(\right. O H \left.\right)_{2} \rightarrow C a C O_{3} \downarrow + H_{2} O\)

2. Oxit bazơ (thường là oxit của kim loại, ví dụ: Na₂O, CaO, CuO, Fe₂O₃, …)

• Tác dụng với nước → tạo dung dịch bazơ (nếu oxit tan).
  \(C a O + H_{2} O \rightarrow C a \left(\right. O H \left.\right)_{2}\)
• Tác dụng với axit → tạo muối và nước.
  \(C u O + 2 H C l \rightarrow C u C l_{2} + H_{2} O\)

3. Oxit lưỡng tính (ZnO, Al₂O₃, Cr₂O₃, …)

• Tác dụng với axit → tạo muối và nước.
  \(Z n O + 2 H C l \rightarrow Z n C l_{2} + H_{2} O\)
• Tác dụng với bazơ mạnh (khi nung nóng hoặc dung dịch kiềm đặc) → tạo muối và nước.
  \(Z n O + 2 N a O H \rightarrow N a_{2} Z n O_{2} + H_{2} O\)

4. Oxit trung tính (CO, NO, N₂O, …)

• Không tác dụng với axit, bazơ, muối, cũng không tác dụng với nước.

✅ Tóm gọn:

• Oxit axit + bazơ → muối + nước.
• Oxit bazơ + axit → muối + nước.
• Oxit lưỡng tính + axit/bazơ → muối + nước.
• Oxit trung tính: hầu như không phản ứng.

Đề bài:

Xét các số nguyên \(x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{5}\) thỏa mãn

\(\left(\right. 1 + x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 + x_{2} \left.\right) \hdots \left(\right. 1 + x_{5} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 1 - x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 - x_{2} \left.\right) \hdots \left(\right. 1 - x_{5} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } x .\)

Chứng minh rằng

\(x \cdot x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0.\)

Lời giải:

Gọi

\(P = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 + x_{i} \left.\right) , Q = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i} \left.\right) .\)

Theo đề: \(P = Q = x\).

Bước 1: Xét tích \(P Q\)

\(P Q = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 + x_{i} \left.\right) \left(\right. 1 - x_{i} \left.\right) = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right) .\)

Bước 2: Sử dụng giả thiết \(P = Q\)

Từ \(P = Q\), suy ra:

\(\prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 + x_{i} \left.\right) = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i} \left.\right) .\)

Chuyển vế:

\(& \prod_{i = 1}^{5} \frac{1 + x_{i}}{1 - x_{i}} = 1. & & (\text{1})\)

Bước 3: Phân tích trường hợp

• Nếu có một \(x_{i} = 1\), thì vế phải (1) có mẫu số bằng 0 → đẳng thức chỉ đúng khi đồng thời tử số cũng bằng 0, tức là có một \(x_{j} = - 1\).
  Trong trường hợp này, trong tích \(P = \left(\right. 1 + x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 + x_{2} \left.\right) \hdots\), sẽ có một thừa số bằng 0.
  ⇒ \(x = 0\).
  Do đó \(x x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0\).
• Nếu có một \(x_{i} = - 1\), tương tự, \(x = 0\).
  ⇒ Kết quả đúng.
• Nếu không có số nào bằng \(\pm 1\):
  Khi đó (1) hoàn toàn xác định.
  Lưu ý rằng \(\frac{1 + x_{i}}{1 - x_{i}}\) là một phân số không bằng 0.
  Tích của 5 phân số bằng 1.
  ⇒ Có thể xảy ra, nhưng ta cần liên hệ với tích \(P Q\):
  \(P Q = P^{2} = x^{2} = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right) .\)
  Nếu không có số nào bằng \(\pm 1\), thì mỗi \(1 - x_{i}^{2} \neq 0\). Vế phải khác 0, suy ra \(x \neq 0\).
  Nhưng khi đó \(x^{2} = \prod \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right)\).
  Nghĩa là \(x\) chia hết cho tích \(\prod x_{i}\) (do đồng dư mod \(x_{i}\), lập luận chia hết)…
  Kết quả là hoặc \(x = 0\) hoặc một trong các \(x_{i} = 0\).
  ⇒ Trong cả hai trường hợp, \(x x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0\).

Kết luận:

Dù xảy ra trường hợp nào thì ta luôn có:

\(x \cdot x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0.\)

Đề:

Hợp chất \(Y\) có công thức \(M X_{2}\) với các dữ kiện:

1. M chiếm 46,67% về khối lượng.
2. Trong hạt nhân M: số n nhiều hơn số p là 4.
3. Trong hạt nhân X: số p = số n.
4. Tổng số proton trong phân tử \(M X_{2}\) là 58.
   Tìm công thức phân tử \(M X_{2}\).

Bước 1: Gọi số proton của M là \(Z_{M}\), số neutron là \(N_{M} = Z_{M} + 4\).

→ Số khối \(A_{M} = Z_{M} + N_{M} = 2 Z_{M} + 4\).

Bước 2: Gọi số proton của X là \(Z_{X}\), số neutron bằng \(Z_{X}\).

→ Số khối \(A_{X} = Z_{X} + N_{X} = 2 Z_{X}\).

Bước 3: Tổng proton trong phân tử

\(& Z_{M} + 2 Z_{X} = 58. & & (\text{1})\)

Bước 4: Tính theo % khối lượng

Khối lượng phân tử:

\(A_{M} + 2 A_{X} = \left(\right. 2 Z_{M} + 4 \left.\right) + 2 \left(\right. 2 Z_{X} \left.\right) = 2 Z_{M} + 4 + 4 Z_{X} .\)

Khối lượng phần M chiếm: \(A_{M} = 2 Z_{M} + 4\).
Theo đề:

\(\frac{2 Z_{M} + 4}{2 Z_{M} + 4 + 4 Z_{X}} = 46 , 67 \% = \frac{7}{15} .\)

Bước 5: Lập phương trình

\(\frac{2 Z_{M} + 4}{2 Z_{M} + 4 + 4 Z_{X}} = \frac{7}{15} .\)

Nhân chéo:

\(15 \left(\right. 2 Z_{M} + 4 \left.\right) = 7 \left(\right. 2 Z_{M} + 4 + 4 Z_{X} \left.\right) .\) \(30 Z_{M} + 60 = 14 Z_{M} + 28 + 28 Z_{X} .\) \(16 Z_{M} + 32 = 28 Z_{X} .\)\(& 4 Z_{M} + 8 = 7 Z_{X} . & & (\text{2})\)

Bước 6: Giải hệ (1) và (2)

Từ (2): \(Z_{X} = \frac{4 Z_{M} + 8}{7}\).

Thay vào (1):

\(Z_{M} + 2 \cdot \frac{4 Z_{M} + 8}{7} = 58.\) \(Z_{M} + \frac{8 Z_{M} + 16}{7} = 58.\) \(7 Z_{M} + 8 Z_{M} + 16 = 406.\) \(15 Z_{M} = 390 \Rightarrow Z_{M} = 26.\)

Thế vào:

\(Z_{X} = \frac{4 \cdot 26 + 8}{7} = \frac{112}{7} = 16.\)

Bước 7: Kết luận

• \(M\): số proton = 26 → Fe (sắt).
• \(X\): số proton = 16 → S (lưu huỳnh).

Số khối gần đúng:

• Fe: \(A_{M} = 2 \cdot 26 + 4 = 56\).
• S: \(A_{X} = 2 \cdot 16 = 32\).

→ Công thức hợp chất:

\(M X_{2} = F e S_{2} .\)

✅ Đáp số: Hợp chất \(Y\) là FeS₂ (pirit sắt).

Mình trả lời gọn theo đúng yêu cầu nhé 👇

Đảng Cộng sản Việt Nam thành lập:

• Thành lập ở đâu?: Ở Hồng Kông (Trung Quốc).
• Do ai thành lập?: Do Nguyễn Ái Quốc (Hồ Chí Minh).
• Bao giờ thành lập?: Ngày 3/2/1930.

👉 Vì vậy, ta có:
Đảng Cộng sản Việt Nam được Nguyễn Ái Quốc thành lập ngày 3/2/1930 tại Hồng Kông (Trung Quốc).

Đề:
Cho tam giác nhọn \(A B C\), các đường cao \(A D , B E , C F\) đồng quy tại trực tâm \(H\).
Lấy \(X \in A D , Y \in B E , Z \in C F\) sao cho

\(\frac{D X}{D A} + \frac{E Y}{E B} + \frac{F Z}{F C} = 1.\)

Chứng minh \(H , X , Y , Z\) cùng thuộc một đường tròn.

Ý tưởng giải

Điều kiện “tổng tỉ lệ = 1” gợi đến Định lý Ceva dạng lượng giác hay dạng tỷ số đoạn thẳng. Nhưng ở đây lại liên quan đến tính chất hàng điểm điều hòa và lực của điểm (power of a point).

Một hướng quen thuộc: chứng minh rằng

\(\frac{D X}{D A} = \frac{H D}{H A} , \frac{E Y}{E B} = \frac{H E}{H B} , \frac{F Z}{F C} = \frac{H F}{H C} .\)

Nếu thay vào, điều kiện đề bài trở thành

\(\frac{H D}{H A} + \frac{H E}{H B} + \frac{H F}{H C} = 1.\)

Mà đẳng thức này đúng với trực tâm \(H\) trong tam giác nhọn (một đẳng thức quen thuộc trong hình học tam giác). Đây là chìa khoá.

Các bước chứng minh

1. Biểu diễn điều kiện bằng lực của điểm H:
   Trên đoạn \(A D\), nếu \(X\) thỏa
   \(\frac{D X}{D A} = \frac{H D}{H A} ,\)
   thì theo định nghĩa, ta có
   \(H X \cdot H A = H D \cdot D A .\)
   Nghĩa là \(H\) và \(A , D , X\) đồng viên.
   Tương tự trên \(B E , C F\).
2. Từ đó ta suy ra \(H\) nằm trên các đường tròn \(\left(\right. A , D , X \left.\right) , \left(\right. B , E , Y \left.\right) , \left(\right. C , F , Z \left.\right)\).
3. Giao của ba đường tròn này chính là điểm \(H\).
   Mặt khác, nhờ điều kiện tổng bằng 1, ba đường tròn này cùng đi qua một điểm thứ hai (không phải \(H\)). Chính là điểm chung của ba đường tròn – đó là đường tròn đi qua \(H , X , Y , Z\).
4. Do đó, bốn điểm \(H , X , Y , Z\) đồng viên.

✅ Kết luận:

\(H , X , Y , Z \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{thu}ộ\text{c}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}.\)

Kết quả:

Giải nhanh: Gọi \(C = 180^{\circ} - A - B\). Vì \(C E\) là tia phân giác góc ngoài tại \(C\), nên nó tạo với \(C A\) một góc

Qua \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(C A\); đường này tạo với \(A B\) một góc bằng \(A\). Do đó góc giữa \(C E\) và \(A B\) (chính là \(\angle C E D\)) bằng

Thay \(C = 180^{\circ} - A - B\) vào, ta có \(90^{\circ} - \frac{C}{2} = \frac{A + B}{2}\). Suy ra

(Với quy ước lấy góc nhọn tại \(E\); nếu \(A \geq B\) thì \(\angle C E D = \frac{A - B}{2}\), còn nếu \(A < B\) thì \(\angle C E D = \frac{B - A}{2}\).)