Từ 1-9 có 9 chữ số Từ 10-99 có 180 chữ số Từ 100-200 có 303 chữ số

Cần số chữ số để đánh hết trang sách là:

303+180+9=582

Các số từ 1 đến 999 999 có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng 

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

a

b

c

d

e

f

, trong đó mỗi kí hiệu a, b, c, d, e, f nhận một trong các giá trị 0; 1; 2;..., 9. Chẳng hạn số 

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

001234

 được hiểu là số 1234.

Để tạo thành một số 

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

a

b

c

d

e

f

 thoả mãn yêu cầu chứa đúng một chữ số 1 và đúng một chữ số 2, ta có thể tiến hành qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: chọn ra 2 kí hiệu trong số a, b, c, d, e, f để thay bằng các chữ số 1; 2;

– Công đoạn 2: thay 4 kí hiệu còn lại, mỗi kí hiệu bằng một chữ số bất kì trong số tám chữ số còn lại 0; 3; 4;...; 9.

Xét công đoạn 1: Chọn ra 2 kí hiệu từ 6 kí hiệu để thay chúng tương ứng bằng 1; 2 (có sắp xếp), số cách chọn là số các chỉnh hợp chập 2 của 6 và là:

A

2

6

=

6

!

(

6

−

2

)

!

=

6.5.4

!

4

!

=

6.5

=

30

 (cách)

Xét công đoạn 2: Thay 4 kí hiệu còn lại, mỗi kí hiệu bằng một chữ số bất kì trong số tám chữ số còn lại 0; 3; 4;...; 9. Tức là mỗi kí hiệu còn lại có thể được thay bằng 8 cách khác nhau. Do đó có tổng cộng: 8 . 8 . 8 . 8 = 4 096 (cách).

Vậy, theo quy tắc nhân, số các số từ 1 đến 999 999 cần tìm là:

30 . 4 096 = 122 880 (số).