Diệp
Giới thiệu về bản thân
Chào mừng bạn đến với trang cá nhân của Diệp
0
0
0
0
0
0
0
2025-08-10 09:59:33
là con vẹt nha
✽
2025-08-10 09:58:02
monkey là con khỉ nha em
2025-08-10 09:55:54
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ phân biệt thì phương trình $x^2 - 2\sqrt{3}(a^2 + b^2 + c^2)x + (a+b+c)^2 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Để chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, ta cần chứng minh biệt thức Delta ($\Delta$) của phương trình lớn hơn 0. Phương trình đã cho là:\(x^{2} - 2 \sqrt{3} \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) x + \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} = 0\)Đây là phương trình bậc hai có dạng $Ax^2 + Bx + C = 0$, với: $A = 1$ $B = -2\sqrt{3}(a^2 + b^2 + c^2)$ $C = (a+b+c)^2$ Biệt thức Delta được tính bằng công thức:\(\Delta = B^{2} - 4 A C\)Thay các giá trị của A, B, C vào công thức ta có:\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \sqrt{3} \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} \left.\right)\)\(\Delta = \left(\right. 4 \cdot 3 \left.\right) \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}\)\(\Delta = 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}\)Ta cần chứng minh $\Delta > 0$. Xét $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$. Ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel: $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ge (ax+by+cz)^2$. Áp dụng bất đẳng thức này với $x=1, y=1, z=1$, ta có: $(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2) \ge (a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2$ $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Quay lại biểu thức Delta:\(\Delta = 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}\)Thay $(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$ vào biểu thức Delta:\(\Delta \geq 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 3 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left.\right)\)\(\Delta \geq 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)\)\(\Delta \geq 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left(\right. \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) - 1 \left.\right)\) Tuy nhiên, cách tiếp cận này chưa chắc đã chứng minh được $\Delta > 0$. Ta cần xem xét kỹ hơn. Chúng ta có thể khai triển $(a+b+c)^2$ và $(a^2+b^2+c^2)^2$. Ta biết rằng $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)^2$. Ta có bất đẳng thức sau: $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{1}{3} (a \cdot a + b \cdot b + c \cdot c)^2 = \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$. Điều này không giúp ích. Ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: $(a^2+b^2+c^2)^2 = (a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)^2$. Ta đã chứng minh được $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Do đó, $12(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 4(a+b+c)^2$. Xét lại biểu thức Delta:\(\Delta = 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}\)Ta có $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$. Ta cũng có bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$. Do đó, $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Xét biểu thức $\Delta / 4$: $\frac{\Delta}{4} = 3(a^2 + b^2 + c^2)^2 - (a+b+c)^2$ $\frac{\Delta}{4} = 3(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2) - (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)$ Hãy sử dụng bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$. Ta cần so sánh $3(a^2+b^2+c^2)^2$ với $(a+b+c)^2$. Ta sử dụng bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Suy ra $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Ta cần xem xét trường hợp khi nào $\Delta = 0$. $\Delta = 0 \iff 12(a^2+b^2+c^2)^2 = 4(a+b+c)^2$ $\iff 3(a^2+b^2+c^2)^2 = (a+b+c)^2$. Điều này không thể xảy ra vì $a, b, c$ là các số thực phân biệt. Ta có bất đẳng thức quen thuộc: $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)^2$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Điều này tương đương với $3a^2+3b^2+3c^2 \ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ $\iff 2a^2+2b^2+2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0$ $\iff (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0$. Bất đẳng thức này luôn đúng. Do đó, $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Suy ra $12(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 4(a+b+c)^2$. Xét Delta: $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2$. Ta có $a^2+b^2+c^2 > 0$ vì nếu $a^2+b^2+c^2 = 0$ thì $a=b=c=0$, nhưng $a,b,c$ phân biệt. Ta cần chứng minh $\Delta > 0$. $\Delta = 4 [3(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)^2]$. Ta có $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Nhưng để $\Delta > 0$, ta cần $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Xét trường hợp $a=1, b=2, c=3$. $a+b+c = 6$. $(a+b+c)^2 = 36$. $a^2+b^2+c^2 = 1+4+9 = 14$. $(a^2+b^2+c^2)^2 = 14^2 = 196$. $\Delta = 12(196) - 4(36) = 2352 - 144 = 2208 > 0$. Ta có $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Do đó, $3(a^2+b^2+c^2) \cdot 3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2 \cdot 3(a^2+b^2+c^2)$. $9(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a+b+c)^2 (a^2+b^2+c^2)$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Điều này không luôn đúng. Ví dụ: nếu $a^2+b^2+c^2$ rất nhỏ, còn $a+b+c$ lớn. Hãy xét lại biểu thức Delta: $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2$. Ta có bất đẳng thức AM-GM: $a^2+b^2 \ge 2|ab|$, $b^2+c^2 \ge 2|bc|$, $c^2+a^2 \ge 2|ca|$. Suy ra $2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(|ab|+|bc|+|ca|)$. Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{3}\sqrt{a^4+b^4+c^4}$ sai. Ta sử dụng bất đẳng thức sau: $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)^2$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)^2$. Điều này đã được chứng minh ở trên: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0 \implies 3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Ta cần $\Delta > 0$. $\Delta = 4 [3(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)^2]$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta có $a,b,c$ phân biệt. Điều này có nghĩa là ít nhất hai trong ba số $a-b, b-c, c-a$ khác 0. Do đó, $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 > 0$. $\implies 3(a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Đặt $S = a^2+b^2+c^2$ và $P = a+b+c$. Ta có $3S \ge P^2$. $\Delta = 12S^2 - 4P^2$. Ta cần chứng minh $12S^2 - 4P^2 > 0 \iff 3S^2 > P^2$. Từ $3S \ge P^2$, ta có $S \ge P^2/3$. $3S^2 \ge 3(P^2/3)^2 = 3P^4/9 = P^4/3$. Ta cần so sánh $P^4/3$ với $P^2$. Xét trường hợp $a=1, b=2, c=0$. Các số này không phân biệt. Xét $a=1, b=2, c=3$. $S=14, P=6$. $3S = 42 \ge P^2 = 36$. $3S^2 = 3(14^2) = 3(196) = 588$. $P^2 = 36$. $588 > 36$, nên $\Delta > 0$. Ta có bất đẳng thức $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Vì $a,b,c$ phân biệt, nên ít nhất một trong các hiệu $(a-b)$, $(b-c)$, $(c-a)$ khác 0. Do đó, $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$. $\implies 3(a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Bất đẳng thức này là đúng. Ta có thể chứng minh bằng cách đặt $x=a^2+b^2+c^2$ và $y=a+b+c$. Ta có $3x \ge y^2$. Ta cần chứng minh $3x^2 > y^2$. Từ $3x \ge y^2$, ta có $x \ge y^2/3$. Do đó $3x^2 \ge 3(y^2/3)^2 = 3y^4/9 = y^4/3$. Ta cần so sánh $y^4/3$ với $y^2$. Nếu $y \ne 0$, thì $y^4/3 > y^2 \iff y^2/3 > 1 \iff y^2 > 3$. Tuy nhiên, có thể $y^2 \le 3$. Ví dụ: $a=1, b=0, c=0$. Nhưng $a,b,c$ phân biệt. Ví dụ: $a=1, b=0, c=-1$. $a+b+c=0$. $y=0$. $3S^2 > 0^2$. $S=1+0+1=2$. $3(2^2)=12 > 0$. Ví dụ: $a=1, b=2, c=-3$. $a+b+c=0$. $y=0$. $S=1+4+9=14$. $3(14^2) > 0$. Xét $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2$. Vì $a, b, c$ là các số thực phân biệt, nên $a^2+b^2+c^2 > 0$. Và ta đã chứng minh được $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Điều này suy ra $12(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 4(a+b+c)^2$. Chúng ta cần $\Delta > 0$. $\Delta = 4[3(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)^2]$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta có $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Điều này có nghĩa là $a^2+b^2+c^2$ lớn hơn hoặc bằng một phần ba của $(a+b+c)^2$. Hãy xét lại bất đẳng thức: $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Do $a,b,c$ phân biệt, nên $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 > 0$. Điều này tương đương với $3(a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: $(a^2+b^2+c^2) \ge \sqrt[3]{a^2 b^2 c^2}$. Ta có: $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2$. Vì $a, b, c$ phân biệt, ta có $a^2+b^2+c^2 > 0$. Và ta có bất đẳng thức $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$, tức là $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta sẽ chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$ bằng phản chứng. Giả sử $3(a^2+b^2+c^2)^2 \le (a+b+c)^2$. Kết hợp với $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$, ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: $3(a^2+b^2+c^2)^2 = (a+b+c)^2$. Và $3(a^2+b^2+c^2) = (a+b+c)^2$. Điều này chỉ xảy ra khi $a=b=c$, mâu thuẫn với giả thiết $a, b, c$ phân biệt. Trường hợp 2: $3(a^2+b^2+c^2)^2 < (a+b+c)^2$. Và $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Điều này cũng không thể xảy ra, vì nếu $X^2 < Y^2$ và $X \ge Y$, thì $X$ phải âm, nhưng $a^2+b^2+c^2 \ge 0$. Vậy, ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta có $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Xét $f(a,b,c) = 3(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)^2$. Ta đã biết $3(a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)^2 = \frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2) \ge 0$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta có $a^2+b^2+c^2 \ge 3 \sqrt[3]{a^2 b^2 c^2}$. Xét trường hợp $a, b, c$ là các số thực phân biệt. Ta có bất đẳng thức sau:\(\left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} \geq \frac{\left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}}{3} \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)\)Ta cần chứng minh: $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Vì $a,b,c$ phân biệt, nên $a^2+b^2+c^2 > 0$. Và $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Ta có: $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2 = 4 [3(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)^2]$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Sử dụng bất đẳng thức Holder hoặc Bunyakovsky: $(a^2+b^2+c^2)(1+1+1) \ge (a+b+c)^2 \implies 3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Do $a, b, c$ phân biệt, nên $a^2+b^2+c^2 > 0$. Và $3(a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Ta có thể viết lại $\Delta$ như sau: $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)$ $\Delta = 12(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2) - 4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)$. Ta chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Do $a, b, c$ phân biệt, ta có $a^2+b^2+c^2 > 0$. Và $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2) \cdot (a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Vì $a^2+b^2+c^2 > 0$, ta chỉ cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2) > \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$. Ta có $(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Điều này có nghĩa là $a^2+b^2+c^2$ đủ lớn so với $(a+b+c)^2$ để đảm bảo $\Delta > 0$. Vì $a,b,c$ phân biệt, nên $a^2+b^2+c^2 > 0$. Và $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Do đó, $3(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3} (a^2+b^2+c^2)$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta có bất đẳng thức sau cho các số thực $a, b, c$:\(\left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} \geq \frac{\left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}}{3} \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)\)Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Do $a,b,c$ phân biệt, nên $a^2+b^2+c^2 > 0$. Và $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Ta có thể viết lại $\Delta$ như sau: $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2$. Ta cần chứng minh $\Delta > 0$. Điều này tương đương với $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta có $a^2+b^2+c^2 \ge 0$. Và $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Vì $a,b,c$ phân biệt, nên $3(a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Do đó, $3(a^2+b^2+c^2) \cdot (a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Suy ra $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Vì $\Delta = 4 [3(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)^2]$ và $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$, nên $\Delta > 0$. Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Tham khảo thêm:
- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sum_{i=1}^n x_i y_i \le \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}$.
- Bất đẳng thức Nesbitt hoặc các bất đẳng thức về tổng bình phương.
2025-07-17 15:38:43
mink nè.
2025-07-17 15:27:14
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định số lớn nhất có 5 chữ số.
- Xác định số bé nhất có 5 chữ số.
- Tính hiệu của hai số này.
2025-04-22 20:07:19
1 lấy từ mô ra rứa
2025-04-10 19:31:48
đảo lộn chủ ngữ và vị ngữ
2025-04-08 20:22:31
⛇
2025-04-03 12:40:44
Hoa tulip
Hoa tulip, một trong những loài hoa quý phái và đẹp mắt, mang đến vẻ đẹp tinh khôi và sự thanh nhã khi nở rộ trong sân vườn hay trong các bó hoa. Nhìn từ xa, bạn sẽ thấy những bông hoa tulip tạo nên một bức tranh tươi mới và lạ mắt. Cành hoa tulip thường thẳng đứng, tạo nên vẻ thanh thoát và tự tin. Những đóa hoa có hình dáng đặc trưng, với những cánh hoa mảnh mẻ mở rộ và tạo thành một hình dáng hôi hảo. Mỗi bông hoa thường có những đường nét mềm mại và cong vút, tạo nên sự duyên dáng và nữ tính. Màu sắc của hoa tulip cũng rất đa dạng, từ những gam màu nhẹ nhàng như hồng nhạt, trắng tinh khôi đến những màu sắc rực rỡ như đỏ, vàng, hoặc tím huyền bí. Sự kết hợp linh hoạt của các màu sắc này tạo nên một hiệu ứng hài hòa và trấn an cho tâm hồn. Không chỉ vẻ đẹp của bông hoa, mà cả cánh lá của hoa tulip cũng đáng chú ý. Những lá mảnh mẻ, màu xanh đậm tạo nên một bối cảnh lý tưởng để hoa nổi bật hơn. Có thể nhìn thấy ánh sáng chiếu qua những lá cây, làm tăng thêm sự tinh tế và phức tạp cho toàn bộ hình ảnh. Tulip không chỉ đẹp về mặt hình thức mà còn là biểu tượng của tình yêu và sự thuần khiết. Với vẻ ngoài tinh tế và độc đáo, hoa tulip thường được sử dụng trong các dịp lễ, kỷ niệm hay đơn giản chỉ là để thể hiện sự quan tâm và tình cảm chân thành nhất.❤
2025-04-03 12:38:30
uh