Ta thấy nếu một trong hai số \(x,y\) bằng 0 thì số kia cũng bằng 0. Do đó \(x=y=0\) là một nghiệm của pt đã cho.

Xét \(x,y\ne0\) . Gọi \(\operatorname{gcd}\left(x,y\right)=d\), khi đó \(\begin{cases}x=da\\ y=db\end{cases}\) với \(\operatorname{gcd}\left(a,b\right)=1\) và \(d,a,b\ne0\). Khi đó pt đã cho thành:

\(\left(da\right)^2\left(da+db\right)=\left(db\right)^2\left(da-db\right)^2\)

\(\lrArr a^2\left(a+b\right)=db^2\left(a-b\right)^2\) (1)

Vì \(\operatorname{gcd}\left(a,b\right)=1\) nên \(\operatorname{gcd}\left(b,a+b\right)=\operatorname{gcd}\left(a,a-b\right)=1\) (thuật toán Euclid).

Từ (1) suy ra \(a^2\vert db^2\left(a-b\right)^2\), nhưng vì \(\operatorname{gcd}\left(a,b\right)=\operatorname{gcd}\left(a,a-b\right)=1\) nên \(a^2\vert d\). Đặt \(d=ka^2\) thì (1) thành

\(a+b=kb^2\left(a-b\right)^2\) (2)

Từ (2) suy ra \(b^2\left(a-b\right)^2\vert a+b\), suy ra \(\begin{cases}b^2\vert a+b\\ \left(a-b\right)^2\vert a+b\end{cases}\)

Ta có \(b^2\vert a+b\) thì \(b\vert a+b\) thì \(b\vert a\), nhưng do \(\operatorname{gcd}\left(a,b\right)=1\) nên \(b=\pm1\)

Tương tự, suy ra \(a-b=\pm1\)

Ta lập bảng sau:

Nếu \(\left(a,b\right)=\left(2,1\right)\) thì \(k=3\), suy ra \(d=12\), dẫn đến \(\left(x,y\right)=\left(24,12\right)\), thử lại thỏa mãn.

Nếu \(\left(a,b\right)=\left(-2,-1\right)\) thì \(k=-3\), suy ra \(d=-12\), cũng dẫn đến \(\left(x,y\right)=\left(24,12\right)\).

Vậy có hai cặp số \(\left(a,b\right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left(0,0\right)\) và \(\left(24,12\right)\).

Bài 6:

Với \(a=0\), ta có \(10^0+168=1+168=169=13^2\) , do đó ta tìm được cặp \(\left(a,b\right)=\left(0,13\right)\).

Với \(a\ge1\) thì \(10^{a}\) có chữ số tận cùng là 0, do đó \(10^{a}+168\) sẽ có chữ số tận cùng là 8, trong khi vế phải \(b^2\) lại là một số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 8, mâu thuẫn. Vậy với \(a\ge1\) thì không có cặp \(\left(a,b\right)\) thỏa mãn điều kiện đã cho.

Vậy ta tìm được cặp số \(\left(a,b\right)\) duy nhất là \(\left(0,13\right)\).

\(\sqrt{\left(x^2+3\right)\left(y^2+3\right)}-xy=3\)

\(\lrArr\sqrt{x^2y^2+9+3x^2+3y^2}=3+xy\)

\(\rArr x^2y^2+9+3x^2+3y^2=x^2y^2+9+6xy\)

\(\lrArr3x^2-6xy+3y^2=0\)

\(\lrArr3\left(x-y\right)^2=0\)

\(\lrArr x=y\)

Ta có \(P=\left(x+\sqrt{x^2+2025}\right)\left(x-\sqrt{x^2+2025}\right)\)

\(P=x^2-\left(\sqrt{x^2+2025}\right)^2\)

\(P=x^2-\left(x^2+2025\right)\)

\(P=-2025\)

Gọi \(S=a+b;P=ab\). Khi đó theo đề bài, ta có: \(2025S=P\), lại có \(a,b\ge2025\rArr S\ge5050\)

Mặt khác, theo định lý Vi-ét đảo, ta có \(a,b\) là 2 nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\) hay \(x^2-Sx+2025S=0\)

\(\lrArr x^2=S\left(x-2025\right)\)

\(\rArr x-2025=\frac{x^2}{S}\) (1) (Do S chắc chắn khác 0 nên ta mới chia được như thế này)

Như vậy, vì \(a,b\) là nghiệm của (1) nên \(a-2025=\frac{a^2}{S};b-2025=\frac{b^2}{S}\)

\(\rArr P=\sqrt{a-2025}+\sqrt{b-2025}-\frac{1}{45}\sqrt{ab}\)

\(P=\sqrt{\frac{a^2}{S}}+\sqrt{\frac{b^2}{S}}-\frac{1}{45}\sqrt{2025S}\)

\(P=\frac{a}{\sqrt{S}}+\frac{b}{\sqrt{S}}-\sqrt{S}\) (vì \(\frac{1}{45}\sqrt{2025}=1\), đồng thời a, b dương nên ta mới bỏ được dấu căn)

\(P=\frac{a+b}{\sqrt{S}}-\sqrt{S}\)

\(P=\frac{S}{\sqrt{S}}-\sqrt{S}\)

\(P=\sqrt{S}-\sqrt{S}\)

\(P=0\)

Vậy \(P=0\)

Đề bài yêu cầu gì vậy bạn?

Hình vẽ đây nhé. Không nhìn được thì vô trang cá nhân của mình coi nhé.

c) Thì dễ thôi, có \(\hat{KPQ}=90^{o}-\hat{PNI}=90^{o}-\hat{QMI}=\hat{IQM}=\hat{KQP}\) nên tam giác KPQ cân tại K.

À ở câu c) có điểm K rồi thì bạn sửa lại điểm K ở câu a) với b) thành điểm S nhé.

b) Gọi L là giao điểm của AK và EF.

Ta có \(AD=BC=AK\) nên tam giác ADK cân tại A.

Có \(\hat{ANE}=\hat{ADK}\) (vì NE//DK)

\(=\hat{AKD}\) (tam giác ADK cân tại A)

\(=\hat{KLE}\) (LE//DK)

\(=\hat{EMB}\) (BM//AK)

Từ đó suy ra \(\hat{ANE}=\hat{BME}\), suy ra EF tạo với AD, BC các góc nhọn bằng nhau. Ta có đpcm.

a) Dựng hình bình hành ABCK. Khi đó trung điểm E của AC cũng là trung điểm BK.

Trong tam giác BDK có E, F lần lượt là trung điểm BD, BK nên EF là đường trung bình bủa tam giác BDK, suy ra \(EF=\frac12DK\)

Mà \(DK<\left|AD-AK\right|=\left|AD-BC\right|\) (do ABCK là hình bình hành), nên \(EF=\frac12DK<\frac12\left|AD-BC\right|\) . Ta có đpcm.