Cho đường tròn (O;R). Dây cung CD cố định. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ CD. Đường kính MN của (O) cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kì trên cung lớn CD ( E khác C, N và D); ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P.

a) Chứng minh 4 điểm I, K, E, N cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh EI.MN=NK.ME

c) Gọi Q là giao điểm của NK và MP. Chứng minh IK là phân giác của \(\hat{EIQ}\)

d) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động trên cung lớn CD ( E khác C, N, D ) thì H luôn chạy trên một đường cố định

 Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn (O) và một dây BC khác đường kính, điểm A thuộc cung lớn BC sao cho AB < AC và AOB > 90°. Các tiếp tuyến tại B, C của  (O) cắt nhau tại S. Đoạn thẳng OS cắt BC tại M.

(1) Gọi D là hình chiếu của A trên BC. Tia OD cất đường tròn đường kinh OS tại điểm thứ hai F. Chứng minh FD là tia phân giác của  góc BFC và OD. OF = OM. OS=OA^2 

Để bảo tồn một cái giếng lăng cổ hình trụ người ta dành ra một mảnh đất hình vuông có diện tích 36m² xung quanh giếng sao cho tâm của hình tròn miệng giếng trùng với tâm của mảnh đất. Người ta xây lại thành giếng bằng đá xanh và lát nền gạch đỏ trong phần đất xung quanh giếng. Biết rằng đường kính vòng ngoài của miệng giếng là 4m, thành giếng dày 20cm và cao 1,5m (tham khảo hình dưới a) Hỏi diện tích nền lát gạch là bao nhiêu mét vuông? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục) b) Biết mỗi mét vuông nền gạch làm hết 0,6 triệu đồng và mỗi mét khối thành giếng xây hết 2 triệu đồng (bao gồm cả tiền công và tiền vật liệu). Hỏi phải cần bao nhiêu triệu đồng để hoàn thành công trình? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

a) Hỏi diện tích nền lát gạch là bao nhiêu mét vuông? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
b) Biết mỗi mét vuông nền gạch làm hết 0,6 triệu đồng và mỗi mét khối thành giếng xây hết 2 triệu đồng (bao gồm cả tiền công và tiền vật liệu). Hỏi phải cần bao nhiêu triệu đồng để hoàn thành công trình? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) bán kính \(R\). Từ một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến \(A B\) và \(A C\) đến đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) (với \(B\), \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(B C\) và \(A O\).

1. Chứng minh rằng \(A H \cdot A O = R^{2}\).
2. Nếu \(A B = 12 \textrm{ } \text{cm}\), tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến tâm \(O\)