Cho hình vuông ABCD tâm O, trên cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm E, F (E ̸=B, C; F E ̸= C, D) sao cho EAF [ = 45◦, các đường thẳng AE, AF lần lượt cắt BD tại M, N.a) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, F, E nằm trên một đường tròn.b) Gọi H là giao điểm của MF, NE, AH cắt EF tại K, các đường thẳng DK, AE cắt nhau tạiL. Chứng minh rằng 4 điểm B, L, C, D nằm trên một đường...
Đọc tiếp
Cho hình vuông ABCD tâm O, trên cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm E, F (E ̸=
B, C; F E ̸= C, D) sao cho EAF [ = 45◦
, các đường thẳng AE, AF lần lượt cắt BD tại M, N.
a) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, F, E nằm trên một đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của MF, NE, AH cắt EF tại K, các đường thẳng DK, AE cắt nhau tại
L. Chứng minh rằng 4 điểm B, L, C, D nằm trên một đường tròn.
a.
ABCD là hình vuông nên \(\angle NBE=45^0\Rightarrow\angle NBE=\angle NAE=45^0\)
\(\Rightarrow NABE\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle AEN=\angle ABN=45^0\) (cùng chắn AN)
Tương tự ta có \(\angle MAF=\angle MDF=45^0\) nên MADF nội tiếp
\(\Rightarrow\angle AFM=\angle ADM=45^0\) (cùng chắn AM)
\(\Rightarrow\angle AEN=\angle AFM\) hay \(\angle MEN=\angle MFN\)
=>MNFE nội tiếp
b.
Theo cm câu a, do NABE nội tiếp mà ∠ABE=90 độ \(\Rightarrow\angle ANE=180^0-\angle ABE=90^0\)
=>EN⊥AF
Tương tự ta có MADF nội tiếp =>FM⊥AE
=>H là trực tâm tam giác AEF =>AH⊥EF tại K
=>Các điểm M, K, D cùng nhìn AF dưới 1 góc vuông nên 5 điểm A,M,K,F,D cùng thuộc 1 đường tròn.
=>∠KDM=∠KAM (cùng chắn KM) (1)
M và N cùng nhìn AH dưới 1 góc vuông nên AMHN nội tiếp
=>∠KAM=∠ENB (cùng chắn MH) (2)
Do NABE nt (cmt) nên ∠ENB=∠EAB (cùng chắn EB) (3)
(1),(2),(3) =>∠KDM=∠EAB
Mà ∠KDM và ∠EAB cùng chắn BL =>ABLD nội tiếp
Lại có ABCD nội tiếp => 5 điểm A,B,L,C,D cùng nằm trên 1 đường tròn