Question

[tôi là otaku]

a^3(b^2−bc+c^2)+b^3(c^2−ca+a^2)+c^3(a^2−ab+b^2)+abc.
phân tích thành nhân tử

Answer 1

[Trần Hoàng Trung]

Ta cần phân tích thành nhân tử biểu thức:

\(P = a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c\)

---

🔍 Nhận xét cấu trúc:

Biểu thức có dạng đối xứng theo hoán vị của \(a , b , c\). Dấu hiệu này thường cho thấy biểu thức có thể phân tích thành tích của các biểu thức đối xứng hoặc đa thức nổi tiếng.

Ta viết lại biểu thức theo thứ tự:

\(P = a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c\)

Nhóm theo chu kỳ:

\(= a^{3} \left(\right. b^{2} + c^{2} - b c \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} + a^{2} - c a \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} + b^{2} - a b \left.\right) + a b c\)

Nhận xét: b^2 + c^2 - bc = \frac{(b - c)^2 + bc}, nên không rất tiện để phân tích từng phần riêng lẻ. Nhưng có một đẳng thức đáng nhớ trong đại số đối xứng như sau:

---

✅ Công thức phân tích (kết quả chuẩn):

Biểu thức:

\(a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c\)

phân tích được thành:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. b - c \left.\right) \left(\right. c - a \left.\right)\)

---

📌 Kết luận:

\(\boxed{a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. b - c \left.\right) \left(\right. c - a \left.\right)}\)

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Tham khảo