Q=(2x+y)^2 -2.(2x+y)-8
TÌm GTNN của Q
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2021
Lời giải:
$2Q=2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+3998$
$=(x^2+2xy+y^2)+x^2+y^2-6x-6y+3998$
$=(x+y)^2-4(x+y)+(x^2-2x)+(y^2-2y)+3998$
$=(x+y)^2-4(x+y)+4+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+3992$
$=(x+y-2)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+3992\geq 3992$
$\Rightarrow Q\geq 1996$
Vậy $Q_{\min}=1996$ khi $x+y-2=x-1=y-1=0\Leftrightarrow x=y=1$
------------------
$R=(x^2+2xy+y^2)+x^2-2x+2y+15$
$=(x+y)^2+2(x+y)+x^2-4x+15$
$=(x+y)^2+2(x+y)+1+(x^2-4x+4)+10$
$=(x+y+1)^2+(x-2)^2+10\geq 10$
Vậy $R_{\min}=10$ khi $x+y+1=x-2=0$
$\Leftrightarrow x=2; y=-3$
11 tháng 8 2023
cho em hỏi khúc này là sao ạ:
=(x+y−2)^2+(x−1)^2+(y−1)^2+3992≥3992
^
| em chỉ chx hiểu khúc này thôi
VH
1
22 tháng 2 2020
\(A=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2\)
\(\Rightarrow2A=4x^2+4xy+2y^2-4x+4y+4\)
\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)-2\left(2x+y\right).1+1+y^2+6y+9-6\)
\(=\left(2x+y\right)^2-2\left(2x+y\right)+1+\left(y+3\right)^2-6\)
\(=\left(2x+y-1\right)^2+\left(y+3\right)^2-6\)
vì \(\left(2x+y-1\right)^2\ge0\forall x,y;\left(y+3\right)^2\ge0\forall y\)nên
\(2A=\left(2x+y-1\right)+\left(y+3\right)-6\ge-6\forall x,y\)
hay \(2A\ge-6\Rightarrow A\ge-3\Rightarrow minA=-3\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+y-1=0\\y+3=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 11 2017
Lời giải:
Biểu thức 1:
\(y=\frac{2x^2-2x+2}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)-2x}{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow y=2-\frac{2x}{x^2+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x^2+1\geq 2\sqrt{x^2}\Leftrightarrow x^2+1\geq 2|x|\)
\(\Rightarrow (x^2+1)^2\geq 4x^2\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2\leq 1\Leftrightarrow -1\leq \frac{2x}{x^2+1}\leq 1\)
Từ đây suy ra \(\left\{\begin{matrix} y=2-\frac{2x}{x^2+1}\geq 1\Leftrightarrow x=1\\ y=2-\frac{2x}{x^2+1}\leq 3\Leftrightarrow x=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(y_{\min}=1;y_{\max}=3\)
Biểu thức 2:
ĐKXĐ: $x,y$ không đồng thời bằng 0
\(Q=\frac{2x^2+4xy+5y^2}{x^2+y^2}=\frac{(x^2+y^2)+(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)
\(\Leftrightarrow Q=1+\frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)
Ta thấy \((x+2y)^2\geq 0\forall x,y\in\mathbb{R}; x^2+y^2>0\) (nằm trong khoảng xác định)
\(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\geq 0\Rightarrow Q\geq 1\)
Vậy \(Q_{\min}=1\Leftrightarrow x=-2y\) và \(x,y \neq 0\)
Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxky:
\((x+2y)^2\leq (x^2+y^2)(1+2^2)=5(x^2+y^2)\); \(x^2+y^2>0\) trong khoảng xác định
\(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\leq \frac{5(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=5\)
\(\Rightarrow Q\leq 1+5\Leftrightarrow Q\leq 6\Leftrightarrow Q_{\max}=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}\Leftrightarrow 2x=y\) và \(x,y\neq 0\)
19 tháng 10 2018
Tìm GTNN
Câu 1 :
\(C=2x^2-5x+1\)
\(C=2\left(x^2-\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}\right)\)
\(C=2\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{5}{4}+\frac{25}{16}-\frac{17}{16}\right)\)
\(C=2\left[\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{17}{16}\right]\)
\(C=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{17}{8}\ge\frac{-17}{8}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-\frac{5}{4}=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)
Câu 2 :
\(D=x^2+2x+y^2-8y-4\)
\(D=x^2+2\cdot x\cdot1+1^2+y^2-2\cdot y\cdot4+4^2-21\)
\(D=\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2-21\ge-21\forall x;y\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}}\)
Tìm GTLN :
Câu 1 :
\(C=-2x^2+2x-1\)
\(C=-2\left(x^2-x+\frac{1}{2}\right)\)
\(C=-2\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)\)
\(C=-2\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\right]\)
\(C=-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\)
\(C=-\frac{1}{2}-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le-\frac{1}{2}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
19 tháng 10 2018
Câu 2 :
\(D=-x^2-y^2-x+y-4\)
\(D=-\left(x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\left(y^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\frac{7}{2}\)
\(D=-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{7}{2}\)
\(D=\frac{-7}{2}-\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\right]\le\frac{-7}{2}\forall x;y\)
Dấu "=' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{2}=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 5 2019
Ta có \(2x^2+2xy+y^2-2x\le8\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le9-\left(x-1\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow x+y\le3\)
\(P=\frac{2}{x}+2x+\frac{4}{y}+y-4\left(x+y\right)\ge2\sqrt{\frac{4x}{x}}+2\sqrt{\frac{4y}{y}}-4.3=-4\)
\(\Rightarrow P_{min}=-4\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
H
1
27 tháng 8 2017
\(A=3x^2+y^2-2x+y\)
\(=3\left(x^2-\dfrac{1}{3}x.2+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{9}\right)+\left(y^2+2.y.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)\)
\(=3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{3}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
\(=3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{7}{12}\ge\dfrac{-7}{12}\)
Dấu " = " khi \(\left\{{}\begin{matrix}3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2=0\\\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(MIN_A=\dfrac{-7}{12}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(Q=\left(2x+y\right)^2-2\left(2x+y\right)-8\)
\(=\left(2x+y\right)^2-2\left(2x+y\right)+1-9\)
\(=\left(2x+y-1\right)^2-9\ge-9\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi 2x+y-1=0
=>y=-2x+1
Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số Q = (2x + y)^2 - 2(2x + y) - 8, chúng ta có thể sử dụng phương pháp vi tích phân.
Bước 1: Viết lại hàm số Q
Q = (2x + y)^2 - 2(2x + y) - 8
Q = 4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y - 8
Q = 4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y - 8
Bước 2: Tính đạo hàm riêng của Q theo x và y
∂Q/∂x = 8x + 4y - 4
∂Q/∂y = 4x - 2
Bước 3: Tìm điểm cực trị bằng cách giải hệ phương trình:
∂Q/∂x = 0
∂Q/∂y = 0
Giải hệ phương trình này, ta được:
x = -y/2
y = 0
Thay các giá trị này vào hàm số Q, ta có:
Q = 4(-y/2)^2 + 4(-y/2)(0) + 0^2 - 4(-y/2) - 2(0) - 8
Q = 4(y^2/4) - 2y - 8
Q = y^2/2 - 2y - 8
Bước 4: Tìm GTNN của Q
Để tìm GTNN của Q, ta tính đạo hàm của Q và bằng 0:
dQ/dy = y - 2 = 0
y = 2
Thay y = 2 vào hàm số Q, ta có:
Q = 2^2/2 - 2(2) - 8
Q = 2 - 4 - 8
Q = -10
Vậy GTNN của Q là -10.
Tham khảo