Question

[Dương Thanh Hương]

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 7.chứng minh rằng(p^2-1)(p^2-2)(p^2-4)chia hết cho 35

Answer 1

[Nguyễn Phi Long]

kb đi rồi tui trl cho=)

Answer 2

[Nguyễn Phi Long]

Ta có:

• \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 7, nên \(p \geq 11\) và \(p\) là số lẻ.

Nhận xét:

• 35 = 5 × 7.
  → Ta cần chứng minh rằng biểu thức đã cho chia hết cho cả 5 và 7.

---

Bước 1: Chứng minh chia hết cho 5

Vì \(p\) là số nguyên tố > 7 nên \(p \neq 5\) và \(p\) không chia hết cho 5.
Mà với mọi số nguyên \(p\), ta xét \(p m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\) (phần dư chia cho 5), chỉ có thể là 1, 2, 3 hoặc 4 (không thể là 0 vì \(p\) không chia hết cho 5).

Ta xét từng trường hợp:

• Nếu \(p \equiv 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\) thì \(p^{2} \equiv 1^{2} = 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
• Nếu \(p \equiv 2 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\) thì \(p^{2} \equiv 2^{2} = 4 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
• Nếu \(p \equiv 3 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\) thì \(p^{2} \equiv 3^{2} = 9 \equiv 4 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
• Nếu \(p \equiv 4 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\) thì \(p^{2} \equiv 4^{2} = 16 \equiv 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)

Vậy luôn có:

\(p^{2} \equiv 1 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 4 \left(\right. m o d 5 \left.\right) .\)

Xét biểu thức:

\(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right)\)

theo modulo 5:

• Nếu \(p^{2} \equiv 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\):
  \(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \equiv 0 , \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \equiv - 1 \equiv 4 , \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right) \equiv - 3 \equiv 2 \left(\right. \text{mod}\&\text{nbsp}; 5 \left.\right)\)
  → Một thừa số bằng 0 mod 5 ⇒ cả tích chia hết cho 5.
• Nếu \(p^{2} \equiv 4 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\):
  \(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \equiv 3 , \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \equiv 2 , \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right) \equiv 0 \left(\right. \text{mod}\&\text{nbsp}; 5 \left.\right)\)
  → Một thừa số bằng 0 mod 5 ⇒ cả tích chia hết cho 5.

Kết luận:

\(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right) \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 5.\)

---

Bước 2: Chứng minh chia hết cho 7

Tương tự, vì \(p\) là số nguyên tố \(\geq 11\), nên \(p ≢ 0 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\).

Ta xét các trường hợp:

• \(p \equiv 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\).

Tính \(p^{2} m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\) cho từng trường hợp:

• \(p \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \Rightarrow p^{2} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)
• \(p \equiv 2 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \Rightarrow p^{2} \equiv 4 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)
• \(p \equiv 3 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \Rightarrow p^{2} \equiv 9 \equiv 2 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)
• \(p \equiv 4 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \Rightarrow p^{2} \equiv 16 \equiv 2 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)
• \(p \equiv 5 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \Rightarrow p^{2} \equiv 25 \equiv 4 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)
• \(p \equiv 6 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \Rightarrow p^{2} \equiv 36 \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)

Vậy \(p^{2} \equiv 1 , 2 , 4 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\).

Xét tiếp biểu thức:

\(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right) \text{mod} 7\)

• Nếu \(p^{2} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\):
  \(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \equiv 0 , \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \equiv - 1 \equiv 6 , \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right) \equiv - 3 \equiv 4\)
  → Một thừa số bằng 0 mod 7 ⇒ tích chia hết cho 7.
• Nếu \(p^{2} \equiv 2 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\):
  \(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \equiv 1 , \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \equiv 0 , \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right) \equiv - 2 \equiv 5\)
  → Một thừa số bằng 0 mod 7 ⇒ tích chia hết cho 7.
• Nếu \(p^{2} \equiv 4 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\):
  \(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \equiv 3 , \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \equiv 2 , \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right) \equiv 0\)
  → Một thừa số bằng 0 mod 7 ⇒ tích chia hết cho 7.

Kết luận:

\(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right) \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 7.\)

---

Bước 3: Kết luận cuối cùng

Vì biểu thức chia hết cả cho 5 và 7, mà 5 và 7 nguyên tố cùng nhau, nên:

\(\left(\right. p^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 2 \left.\right) \left(\right. p^{2} - 4 \left.\right) \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 5 \times 7 = 35.\)

✅ Điều phải chứng minh.