Question

[Hải Đăng Nguyễn]

ChoABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) có AB < AC, kẻ đường kính AK. Kẻ AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AK tại E, CF vuông góc với AK tại F.

a) Chứng minh tứ giác ADFC nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh AB.AC = AD.2R

c) Chứng minh DF // BK

Answer 1

[33 Nguyễn Minh Ngọc]

a) Xét ∆ADC vg tại D có ch AC
=> ∆ADC nội tiếp đtròn đk AC
=> A, D, C thuộc đtròn đk AC (1)
Xét ∆AFC vg tại F có ch AC
=> ∆AFC nội tiếp đtròn đk AC
=> A, F, C thuộc đtròn đk AC (2)
Từ (1), (2) => A, D, F, C thuộc đtròn đk AC
=> ADFC nội tiếp đtròn đk AC
b) Vì AK là đk (O;R) => AK = 2R
Xét (O) có 2 gnt ∠ABC, ∠AKC chắn cung AC
=> ∠ABC = ∠AKC
Xét (O) có gnt ∠ABK, ∠ACK chắn nửa (O)
=> ∠ABK = ∠ACK = 90°
Xét ∆ABD và ∆AKC có
∠ADB = ∠ACK = 90°
∠ABC = ∠AKC (cmt)
=> ∆ABD ~ ∆AKC (g.g)
=> AB/AK = AD/AC (2 cặp cạnh t/ứng)
=> AB.AC = AD.AK (tỉ lệ thức)
(=) AB. AC = AD.2R
c) Xét (O) có 2 gnt ∠CBK, ∠CAK chắn cung CK
=> ∠CBK = ∠CAK (3)
Xét đtròn đk AC có 2 gnt ∠CDF, ∠CAF chắn cung CF
=> ∠CDF = ∠CAF (4)
Từ (3), (4) => ∠CBK = ∠CDF ở vị trí đồng vị
=> DF // BK

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ADFC có \(\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^0\)

nên ADFC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

Xét (O) có \(\widehat{ABC};\widehat{AKC}\) là các góc nội tiếp cùng chắn cung AC

nên \(\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔACK vuông tại C có

\(\widehat{ABD}=\widehat{AKC}\)

Do đó: ΔADB~ΔACK

=>\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{AK}\)

=>\(AB\cdot AC=AD\cdot AK=AD\cdot2R\)