Question

[Thương Nguyễn]

Cho  \(\left(O;R\right)\)và điểm A cố định với   \(OA=2R\).Từ A kẻ tiếp tuyến AB với B là tiếp điểm và cát tuyến ACD quay quanh A của đường tròn (O) với C nằm giữa A và D. Phân giác góc CBD cắt dây CD tại E.

a) chứng minh rằng \(\Delta ABC\infty\Delta ADB\)

b) chứng minh \(AB^2=AC.AD\). tính  \(AC.AD\)theo R

c) chứng tỏ điểm E luôn ở trên một đường tròn cố ding95 khí cát tuyến ACD quay quanh A

d) cho \(AC+AD=\frac{7R}{2}\). tính AC, AD theo R

Answer 1

[Vũ Nguyễn Minh Khiêm]

a gọi I là trung điểm của A=> I thuộc đường tròn (O) vì OI-1/2.)OA=1.2.2R=R= BK
có AB,AC là tiếp tuyến của (O)
=>góc ABO=góc ACO=90 độ
=> tam giác ABO vuông tại B, có BI là đường trung tuyến 
=> BI=OI=IA
có OI=OC=OB
=> tứ giác OBIC là hình thoi 
=> OI là đường phân giác của góc BIC(tính chất hình thoi) hay AI là phân giác góc BAC(1)
lại có ABOC nội tiếp(O) (cmt)
=> AO vuông góc với BC hay AI vuông góc với BC(2), AB=AC(3)
từ (1)(2)(3)=> tam giác ABC đều

Answer 2

[Cô Hoàng Huyền]

O A B C D E

a) Ta thấy ngay \(\widehat{BDA}=\widehat{CBA}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cung cùng chắn một cung)

Vậy nên \(\Delta ABC\sim\Delta ADB\left(g-g\right)\)

b) Do \(\Delta ABC\sim\Delta ADB\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AC\)

Xét tam giác vuông OBA có \(AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

Vậy nên \(AD.AC=AB^2=3R^2\)

c) Ta thấy rằng \(\Delta ABC\sim\Delta ADB\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADB}\)

Vậy thì \(\widehat{BEA}=\widehat{DBE}+\widehat{BDE}=\widehat{ABC}+\widehat{CBE}=\widehat{ABE}\)

Suy ra tam giác ABE cân tại A hay AB = AE.

Do A, B cố định nên AE không đổi.

Vậy khi cát tuyến ACD quay xung quanh A thì E di chuyển trên đường tròn tâm A, bán kính AB.

d)  Ta có AC.AD = 3R² ; AC + AD = 7R/2

nên ta có phương trình \(AC\left(\frac{7R}{2}-AC\right)=3R^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2-\frac{7R}{2}AC+3R^2=0\Leftrightarrow AC=2R\)

\(\Rightarrow AD=\frac{3R}{2}\)