Question

[Phúc Đặng Hoàng]

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, trong đó ABCD là một hình thang với đáy lớn AD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và DC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. Giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (SAD) và (GHK). Biết (d) cắt SA tại M và cất SD tại N. Tứ giác MNKH là hình bình hành thì AD =k.BC. Khi đó k =?

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C D S H K G M N E

Trong mp(SAD) qua G dựng đường thẳng d//AD

HA=HB; KC=KD => HK là đường trung bình của hình thang ABCD

=> HK//AD và \(HK=\dfrac{AB+CD}{2}\)

Ta có d//AD

=> d//HK (cùng // với AD)

\(\Rightarrow d\in\left(GHK\right)\) mà \(d\in\left(SAD\right)\) => d là giao tuyến của (SAD) với (GHK)

Xét tg SAE có MN//AD \(\Rightarrow\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{MG}{AE}=\dfrac{SG}{SE}=\dfrac{2}{3}\)

Xét tg SAD có MN//AD \(\Rightarrow\dfrac{MN}{AD}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{2}{3}AD\)

Do MNHK là hbh => MN=HK

\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{AD+BC}{2}\Leftrightarrow4AD=3AD+3BC\)

\(\Leftrightarrow AD=3BC=k.BC\Rightarrow k=3\)